Calcule
∫∫∫𝐵 √1−𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o cubo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
∫∫∫𝐵 √1−𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o cubo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral triplo
onde
é o cubo definido por
Para resolver, vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais e depois calcular a integral em
de
.
Passo 2
Como o integrando
não depende de
nem de
, aplicando Fubini temos
As duas primeiras integrais são triviais e valem
. Logo resta
Passo 3
Para calcular
fazemos a substituição trigonométrica
,
. Quando
temos
e quando
temos
. Então
Usando
, obtemos
Passo 4
Voltando ao integral triplo, como as integrais em
e
valiam
, o resultado final é