Calcule
∫∫∫𝐵 √1−𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o cubo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo
\iiint_{B} \sqrt{1 - z^{2}} \, dx\,dy\,dz
onde B é o cubo definido por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1,\quad 0 \le z \le 1.
Para resolver, vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais e depois calcular a integral em z de \sqrt{1 - z^{2}}.

Passo 2

Como o integrando \sqrt{1 - z^{2}} não depende de x nem de y, aplicando Fubini temos
\iiint_{B} \sqrt{1 - z^{2}} \,dx\,dy\,dz = \Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr)\!\Bigl(\int_{0}^{1}dy\Bigr)\!\Bigl(\int_{0}^{1}\sqrt{1 - z^{2}}\,dz\Bigr).
As duas primeiras integrais são triviais e valem 1. Logo resta
\int_{0}^{1}\sqrt{1 - z^{2}}\,dz.

Passo 3

Para calcular
I = \int_{0}^{1}\sqrt{1 - z^{2}}\,dz
fazemos a substituição trigonométrica z = \sin\theta, dz = \cos\theta\,d\theta. Quando z=0 temos \theta=0 e quando z=1 temos \theta=\frac{\pi}{2}. Então
I = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\;\cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}, obtemos
I = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\Bigl[\theta + \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\,\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Voltando ao integral triplo, como as integrais em x e y valiam 1, o resultado final é
1 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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