Calcule cos theta em termos de tan theta, tomando theta no intervalo (0, pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede para expressar costheta em função de tantheta, sabendo que thetain(0,pi/2). Vamos usar as definições de razão trigonométrica e a identidade pitagórica.

Passo 2

Pela definição de tangente, temos
tantheta = sinthetacostheta
Dessa forma, isolamos sintheta:
sintheta = tantheta;costheta

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
sin^2theta + cos^2theta = 1
Substituindo sintheta = tantheta,costheta, vem
(tantheta,costheta)^2 + cos^2theta = 1

Passo 4

Fatorando cos^2theta, obtemos
cos^2thetal(tan^2theta + 1r) = 1 Longrightarrow cos^2theta = 11 + tan^2theta
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costheta = pm 1raiz1 + tan^2theta

Passo 5

Como theta está em (0,pi/2), temos costheta>0. Portanto escolhemos o sinal positivo.

Resposta

costheta = 1raiz1 + tan^2theta

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