Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
2 x+3 y=7

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos \frac{dy}{dx} para a reta definida por
2x + 3y = 7
de duas formas: (a) usando derivação implícita e (b) isolando y e derivando explicitamente. Vamos usar regras básicas de derivação, em especial a regra da soma, da constante e, no caso implícito, a regra da cadeia para \frac{d}{dx}(y)=y'.

Passo 2

Para a derivação implícita, diferenciamos ambos os lados de
2x + 3y = 7
em relação a x. Aplicando derivada termo a termo:
  • \frac{d}{dx}(2x)=2,
  • \frac{d}{dx}(3y)=3\,\frac{dy}{dx} (pela regra da cadeia),
  • \frac{d}{dx}(7)=0.
    Logo,
2 + 3\,\frac{dy}{dx} = 0
e isolando \frac{dy}{dx} obtemos
3\,\frac{dy}{dx} = -2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}.

Passo 3

Para a derivação explícita, primeiro isolamos y:
3y = 7 - 2x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{7 - 2x}{3} = \frac{7}{3} - \frac{2}{3}\,x.
Agora derivamos em relação a x:
\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}.

Passo 4

Comparando os dois resultados, vemos que em ambos os métodos
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}.

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