Calcule Ln z quando z é igual a:
-5 \pm 0,1 i

Passo 1

O enunciado pede o valor do logaritmo principal de um número complexo, ou seja
\mathrm{Ln}\,z = \ln|z| + \mathrm{i}\,\Arg(z),
para z=-5+0,1\,\mathrm{i} e para z=-5-0,1\,\mathrm{i}.
Vamos calcular primeiro a parte real \ln|z| e depois a parte imaginária \Arg(z).

Passo 2

Calcular o módulo de z e seu logaritmo:
|z| = \sqrt{(-5)^2 + (0,1)^2} = \sqrt{25 + 0,01} = \sqrt{25,01},
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\ln|z| = \ln\bigl(\sqrt{25,01}\bigr) = \tfrac12\,\ln(25,01) \approx 1,60964.

Passo 3

Calcular o ângulo auxiliar
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{0,1}{5}\bigr) = \arctan(0,02) \approx 0,0199987\;\text{rad}.

Passo 4

Determinar o argumento principal em cada caso:
\Arg(-5+0,1\,\mathrm{i}) =\pi - \theta \approx 3,14159 - 0,0199987 \approx 3,12159,
\Arg(-5-0,1\,\mathrm{i}) =-\pi + \theta \approx -3,14159 + 0,0199987 \approx -3,12159.

Passo 5

Juntando as partes real e imaginária, obtemos
\mathrm{Ln}(-5+0,1\,\mathrm{i}) =\tfrac12\ln(25,01) +\mathrm{i}\,(\pi-\theta) \approx 1,60964 + 3,12159\,\mathrm{i},
\mathrm{Ln}(-5-0,1\,\mathrm{i}) =\tfrac12\ln(25,01) -\mathrm{i}\,(\pi-\theta) \approx 1,60964 - 3,12159\,\mathrm{i}.

Resposta

\displaystyle\mathrm{Ln}(-5+0,1\,\mathrm{i}) =\tfrac12\ln(25,01) +\mathrm{i}\bigl(\pi-\arctan(0,02)\bigr) \approx 1,60964 + 3,12159\,\mathrm{i},
\displaystyle\mathrm{Ln}(-5-0,1\,\mathrm{i}) =\tfrac12\ln(25,01) -\mathrm{i}\bigl(\pi-\arctan(0,02)\bigr) \approx 1,60964 - 3,12159\,\mathrm{i}.

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