Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{a} \int_{0}^{r \cos \theta} r \operatorname{sec} ^{3} \theta d z d r d \theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{a}\int_{0}^{r\cos\theta}r\operatorname{sec}^3\theta \,dz\,dr\,d\theta.
Este é um cálculo de integração tríplice em que integraremos primeiro em z, depois em r e, por fim, em \theta.

Passo 2

Integramos em z, mantendo r e \theta constantes:
\int_{0}^{r\cos\theta}r\operatorname{sec}^3\theta\,dz =r\operatorname{sec}^3\theta\bigl[z\bigr]_{0}^{r\cos\theta} =r\operatorname{sec}^3\theta\,(r\cos\theta) =r^2\cos\theta\,\operatorname{sec}^3\theta =r^2\operatorname{sec}^2\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{a}r^2\operatorname{sec}^2\theta\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/4}\Bigl(\int_{0}^{a}r^2\,dr\Bigr)\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.
Calculemos \displaystyle\int_{0}^{a}r^2\,dr=\tfrac{a^3}{3}. Logo a integral torna-se
\frac{a^3}{3}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta =\bigl[\tan\theta\bigr]_{0}^{\pi/4} =\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\tan(0) =1-0 =1.

Resposta

\frac{a^3}{3}.

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