Calcule o menor número natural de:
21 divisores;

Passo 1

O enunciado pede o menor número natural que tenha exatamente 21 divisores. O conteúdo principal aqui é a função contador de divisores e a fatoração em primos de um inteiro.

Passo 2

Sejam n=p1^a1p2^a2cdots pk^ak a fatoração prima de n. O número de divisores de n é dado por
d(n)=prodi=1^k(ai+1)
Queremos d(n)=21.

Passo 3

Fatoramos 21 em inteiros maiores que 1:
21 = 21, 21 = 7times3
Isto leva aos dois padrões de expoentes possíveis:
  1. a1+1=21 (apenas um primo), ou
  2. a1+1=7 e a2+1=3 (dois primos).

Passo 4

Caso 1: a1=20, então n=p^20. O menor primo é 2, logo
n1=2^20=1,048,576
Caso 2: (a1,a2)=(6,2) ou (2,6). Para minimizar n colocamos o maior expoente sobre o menor primo:
n2=2^6cdot3^2=64cdot9=576
Se invertêssemos os expoentes teríamos 2^2cdot3^6=2,916, que é maior.

Passo 5

Comparando os candidatos n1=1,048,576 e n2=576, o menor é 576.

Resposta

576

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