Calcule o menor número natural de:
21 divisores;
21 divisores;
Passo 1
O enunciado pede o menor número natural que tenha exatamente 21 divisores. O conteúdo principal aqui é a função contador de divisores e a fatoração em primos de um inteiro.
Passo 2
Sejam
a fatoração prima de
. O número de divisores de
é dado por
Queremos
.
Passo 3
Fatoramos
em inteiros maiores que 1:
Isto leva aos dois padrões de expoentes possíveis:
-
(apenas um primo), ou -
e (dois primos).
Passo 4
Caso 1:
, então
. O menor primo é
, logo
Caso 2:
ou
. Para minimizar
colocamos o maior expoente sobre o menor primo:
Se invertêssemos os expoentes teríamos
, que é maior.
Passo 5
Comparando os candidatos
e
, o menor é
.