Calcule os seguintes limites:
lim x 1 x^3+x^2-2ln x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1x^3+x^2-2ln x
Este é um caso de limite de quociente que, à primeira vista, assume a forma tfrac00. Vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
limxto af(x)=0, limxto ag(x)=0
e as derivadas f' e g' existem perto de a (exceto talvez em a), então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada em x=1:
– Numerador: 1^3+1^2-2=0.
– Denominador: ln1=0.
Logo, temos tfrac00 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
f(x)=x^3+x^2-2 Rightarrow f'(x)=3x^2+2x.
g(x)=ln x Rightarrow g'(x)=tfrac1x.
Pelo teorema,
limxto1x^3+x^2-2ln x =limxto13x^2+2x1/x

Passo 4

Simplificamos a fração:
3x^2+2x1/x =(3x^2+2x),x =3x^3+2x^2
Agora basta avaliar em x=1:
3cdot1^3+2cdot1^2=3+2=5

Resposta

5

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