Calcule os seguintes limites:
lim x 0+ arctg x1-cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0+arctan x1-cos2x.
Este é um caso de indeterminação do tipo 0/0, então vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que nos permite derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro confirmamos a indeterminação:
limxto0+arctan x = 0 e limxto0+(1-cos2x)=0.
Aplicando l’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador:
ddx(arctan x)=11+x^2, ddx(1-cos2x)=2sin2x

Passo 3

Pelo Teorema de l’Hôpital,
limxto0+arctan x1-cos2x =limxto0+11+x^22sin2x =limxto0+12sin2x,(1+x^2)
Para xto0+, usamos a aproximação sin2xsim2x, de modo que
2sin2x,(1+x^2)sim4x,
logo o quociente se comporta como 14x.

Passo 4

Como 14xto+infty quando xto0+, concluímos que o limite diverge para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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