Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raiz[5]x+1-(1+13 x)3 x^2.

Passo 1

O enunciado pede
limxto0raiz[5]x+1-l(1+tfrac13xr)3x^2.
Aqui vamos usar a expansão binomial (ou série de Taylor) para
(1+x)^a=1+a,x+a(a-1)2x^2+O(x^3),
com a=tfrac15.

Passo 2

Aplicando a fórmula para raiz[5]1+x=(1+x)^1/5, obtemos
raiz[5]1+x =1+15x +tfrac15l(tfrac15-1r)2x^2 +O(x^3) =1+15x-225x^2+O(x^3)

Passo 3

Subtraindo 1+tfrac13 x dessa expansão, o numerador fica
raiz[5]1+x-l(1+tfrac13 xr) =l(1+tfrac15x-tfrac225x^2+O(x^3)r) -l(1+tfrac13 xr) =-tfrac215x-tfrac225x^2+O(x^3)

Passo 4

Dividindo por 3x^2,
-tfrac215x-tfrac225x^2+O(x^3)3x^2 =-245x-275+O(x)
O termo dominante -tfrac245x não converge quando xto0: ao aproximar pela direita tende a -infty e, pela esquerda, a +infty.

Resposta

O limite não existe (diverge para -infty por xto0^+ e para +infty por xto0^-).

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