Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raiz[4]x+16-(2+132 x)x^2.

Passo 1

O enunciado pede
limxto0raiz[4]x+16-l(2+tfracx32r)x^2
O conteúdo é limites usando expansão de Taylor de ordem 2 da função
f(x)=(16+x)^1/4
em torno de x=0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f em 0.
f(x)=(16+x)^1/4, f'(x)=14(16+x)^-3/4, f''(x)=-316(16+x)^-7/4
Em x=0 temos
f(0)=2, f'(0)=14,16^-3/4=132, f''(0)=-316,16^-7/4=-32048

Passo 3

Aplicando Taylor até o termo em x^2:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2+O(x^3) =2+x32+l(-32048r)x^22+O(x^3) =2+x32-34096x^2+O(x^3)
Logo,
raiz[4]x+16-l(2+x32r) =-34096x^2+O(x^3)

Passo 4

Dividindo por x^2 e fazendo xto0, os termos O(x^3) desaparecem, sobrando
limxto0-tfrac34096x^2+O(x^3)x^2 =-34096

Resposta

-34096

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