Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x sen(sen x)1-cos (sen x).

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 0xsin(sin x)1-cos(sin x)
Trata-se de um limite na forma 0/0, então vamos usar séries de Taylor para aproximar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
limxto0x=0, limxto0sin x=0 implica limxto0sin(sin x)=0 e limxto0cos(sin x)=1.
Logo numerador e denominador tendem a zero.

Passo 3

Expandimos sin x até a ordem x^3:
sin x = x - x^36 + O(x^5)

Passo 4

Agora expandimos sin(sin x). Usando sin u = u - tfracu^36 + O(u^5) com u=sin x:
sin(sin x) = sin x - (sin x)^36 + O(x^5) = l(x - x^36r) - x^36 + O(x^5) = x - x^33 + O(x^5)

Passo 5

Expandimos 1-cos(sin x). Seja v=sin x. Então
cos v = 1 - v^22 + v^424 + O(v^6),
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1-cos(sin x) = (sin x)^22 - (sin x)^424 + O(x^6)
Como (sin x)^2 = x^2 - tfracx^43 + O(x^6) e (sin x)^4 = x^4 + O(x^6), obtemos
1-cos(sin x) = x^2 - tfracx^432 - x^424 + O(x^6) = x^22 - 5x^424 + O(x^6)

Passo 6

Escrevemos numerador e denominador aproximados:
xsin(sin x) = xl(x - x^33 + O(x^5)r) = x^2 - x^43 + O(x^6),
1-cos(sin x) = x^22 - 5x^424 + O(x^6)
Assim
xsin(sin x)1-cos(sin x) = x^2l(1 - tfracx^23 + O(x^4)r) x^2l(tfrac12 - tfrac5x^224 + O(x^4)r) = 1 - tfracx^23 + O(x^4)tfrac12 - tfrac5x^224 + O(x^4)
Multiplicando numerador e denominador por 2 e fazendo xto0, o limite vale
2cdot 1 = 2

Resposta

2

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