Calcule a série de Fourier da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) periódica de período \(2 \pi\) dada por \[f(x)= \begin{cases}a, & \text { se }-\pi<x \leq 0, \\\ b, & \text { se } 0 \leq x<\pi,\end{cases}
em que a, b\] são constantes reais, \(a \neq b.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função pedaço-constante \[f(x)= \begin{cases} a,&-\pi<x\le0,\\\ b,&0\le x<\pi, \end{cases}
com a\neq b\]. Vamos usar a forma trigonométrica da série de Fourier para função de período \(2\pi:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}a\,dx+\int_{0}^{\pi}b\,dx\Bigr) =\frac{1}{\pi}\bigl(a\cdot\pi +b\cdot\pi\bigr) =a+b.
Logo o termo constante na série é \tfrac{a_0}{2}=\tfrac{a+b}{2}.

Passo 3

Calcular a_n para n\ge1:
a_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}a\cos(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}b\cos(nx)\,dx\Bigr).
Cada integral é
\int\cos(nx)\,dx=\frac{\sin(nx)}{n},
e avaliando nos intervalos aparece sempre \sin(k\pi)=0. Concluímos
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Calcular b_n para n\ge1:
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}a\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}b\sin(nx)\,dx\Bigr).
Usando \int\sin(nx)\,dx=-\tfrac{\cos(nx)}{n} e avaliando,
\int_{-\pi}^{0}a\sin(nx)\,dx =\frac{a}{n}\bigl((-1)^n-1\bigr), \quad \int_{0}^{\pi}b\sin(nx)\,dx =\frac{b}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Somando e dividindo por \pi
b_n =\frac{1}{\pi n}\bigl[a\bigl((-1)^n-1\bigr)+b\bigl(1-(-1)^n\bigr)\bigr] =\frac{b-a}{\pi n}\,\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Observe que 1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n é ímpar.

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier fica
f(x) =\frac{a+b}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)
com
b_n =\begin{cases} 0,&n\text{ par},\\\ \dfrac{2\,(b-a)}{\pi\,n},&n\text{ ímpar}. \end{cases}í
Uma forma mais enxuta é somar apenas sobre n=2m-1:
f(x) =\frac{a+b}{2} +\frac{2\,(b-a)}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2m-1)x\bigr)}{2m-1}.

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{a+b}{2} +\frac{2\,(b-a)}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2m-1)x\bigr)}{2m-1}. }

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