Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as derivadas parciais mistas.
f(x, y)=5 x^{4} y^{3}+2 x y

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)=5x^4y^3+2xy
e o objetivo é calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, f_{xx}, f_{xy}, f_{yx} e f_{yy}. Para isso, vamos primeiro obter as derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Cálculo de f_x=\frac{\partial f}{\partial x}. Derivando termo a termo em relação a x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(5x^4y^3) + \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 5\cdot4x^3y^3 + 2y = 20x^3y^3 + 2y.

Passo 3

Cálculo de f_y=\frac{\partial f}{\partial y}. Derivando termo a termo em relação a y:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(5x^4y^3) + \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 5x^4\cdot3y^2 + 2x = 15x^4y^2 + 2x.

Passo 4

Cálculo de f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x) e f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x):
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(20x^3y^3 + 2y) = 20\cdot3x^2y^3 = 60x^2y^3,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(20x^3y^3 + 2y) = 20x^3\cdot3y^2 + 2 = 60x^3y^2 + 2.

Passo 5

Cálculo de f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y) e f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y):
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(15x^4y^2 + 2x) = 15\cdot4x^3y^2 + 2 = 60x^3y^2 + 2,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(15x^4y^2 + 2x) = 15x^4\cdot2y = 30x^4y.

Resposta

f_{xx} = 60x^2y^3,\quad f_{xy} = 60x^3y^2 + 2,\quad f_{yx} = 60x^3y^2 + 2,\quad f_{yy} = 30x^4y.

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