Calcule o valor de S=1!.5+2!.11+\ldots+n!.\left(n^{2}+3 n+1\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S = 1!\cdot5 + 2!\cdot11 + \cdots + n!\,\bigl(n^{2}+3n+1\bigr).
O conteúdo principal aqui é manipulação de fatoriais e soma telescópica: vamos reescrever o termo genérico k!\,(k^{2}+3k+1) de modo a obter cancelamentos ao somar de k=1 até n.

Passo 2

Observamos que
k^{2}+3k+1 = (k+2)(k+1) - 1.
Multiplicando por k!, vem
k!\,\bigl(k^{2}+3k+1\bigr) = k!\,\bigl((k+2)(k+1)-1\bigr) = (k+2)! \;-\; k!.

Passo 3

Substituindo no somatório,
S = \sum_{k=1}^{n} \bigl[(k+2)! - k!\bigr] = \sum_{k=1}^{n}(k+2)! \;-\;\sum_{k=1}^{n}k!.
Na primeira soma, faça a troca de índice j=k+2. Quando k vai de 1 a n, j vai de 3 a n+2. Logo
\sum_{k=1}^{n}(k+2)! = \sum_{j=3}^{n+2} j!.

Passo 4

Agora
\sum_{j=3}^{n+2} j! = \sum_{j=1}^{n+2} j! \;-\;(1!+2!) = \sum_{j=1}^{n+2} j! - 3.
Assim
S = \bigl(\sum_{j=1}^{n+2} j! - 3\bigr)\;-\;\sum_{j=1}^{n} j! = (n+1)! + (n+2)! - 3,
pois \sum_{j=1}^{n+2} j! - \sum_{j=1}^{n} j! = (n+1)! + (n+2)!.

Resposta

S = (n+1)! + (n+2)! \;-\; 3.

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