Calcule o valor de \ln \frac{1}{\sqrt{a b^{3}}} para \ln a=2 e \ln b=3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\ln \frac{1}{\sqrt{a b^{3}}}
sabendo que \ln a = 2 e \ln b = 3. Vamos usar as propriedades de logaritmo:
\ln(1/x) = -\ln x, \ln(x^c) = c\ln x e \ln(xy) = \ln x + \ln y.

Passo 2

Aplicando a propriedade de inversão:
\ln \frac{1}{\sqrt{a b^{3}}} = -\ln\bigl(\sqrt{a b^{3}}\bigr).

Passo 3

Escrevendo a raiz como potência \tfrac12:
-\ln\bigl(\sqrt{a b^{3}}\bigr) = -\ln\bigl((a b^{3})^{\tfrac12}\bigr) = -\tfrac12\,\ln(a b^{3}).

Passo 4

Usando \ln(xy)=\ln x + \ln y e \ln(b^3)=3\ln b:
-\tfrac12\,\ln(a b^{3}) = -\tfrac12\bigl(\ln a + \ln(b^3)\bigr) = -\tfrac12\bigl(\ln a + 3\ln b\bigr).

Passo 5

Substituindo \ln a = 2 e \ln b = 3:
-\tfrac12\bigl(2 + 3\cdot 3\bigr) = -\tfrac12(2 + 9) = -\tfrac12 \cdot 11 = -\tfrac{11}{2}.

Resposta

-\tfrac{11}{2}

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