Calcule o valor da função nos pontos especificados.
f(x, y, z)=x y e^{z}+x z e^{y}+y z e^{x};
f(1,1,1), f(\ln 2, \ln 3, \ln 4)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=x\,y\,e^{z}+x\,z\,e^{y}+y\,z\,e^{x}
e pede o valor de f em dois pontos: (1,1,1) e (\ln2,\ln3,\ln4). Para resolver, basta substituir as coordenadas na definição de f e simplificar.

Passo 2

Para calcular f(1,1,1) substituímos x=y=z=1:
f(1,1,1) =1\cdot1\,e^{1}+1\cdot1\,e^{1}+1\cdot1\,e^{1} =3e.

Passo 3

Para calcular f(\ln2,\ln3,\ln4), avaliamos cada termo:
  1. x\,y\,e^{z}=(\ln2)(\ln3)e^{\ln4}=4\,\ln2\,\ln3.
  2. x\,z\,e^{y}=(\ln2)(\ln4)e^{\ln3}=3\,\ln2\,\ln4.
  3. y\,z\,e^{x}=(\ln3)(\ln4)e^{\ln2}=2\,\ln3\,\ln4.
Somando e usando \ln4=2\ln2, obtemos
f(\ln2,\ln3,\ln4) =4\ln2\ln3+3\ln2\cdot2\ln2+2\ln3\cdot2\ln2 =6(\ln2)^2+8\ln2\ln3.

Resposta

f(1,1,1)=3e
f(\ln2,\ln3,\ln4)=6(\ln2)^2+8\ln2\ln3

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