CEFETEQ - Sabendo que x y=6, y z=24 e x z=8, calcule o valor da expressão x^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado nos dá as igualdades ,xy=6, ,yz=24 e ,xz=8, e pede o valor de x^2+y^2+z^2. O conteúdo aqui é manipulação de produtos de variáveis. Vamos usar a ideia de multiplicar as três igualdades para achar (xyz)^2 e depois obter cada variável em termos de xyz.

Passo 2

Multiplicamos todas as três igualdades:
(xy),(yz),(xz) = 6 cdot 24 cdot 8
No lado esquerdo aparece (xy)(yz)(xz) = (xyz)^2. No direito,
6 cdot 24 = 144, 144 cdot 8 = 1152,
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(xyz)^2 = 1152
Assim,
xyz = pm raiz1152 = pm raiz128 cdot 9 = pm 24raiz2

Passo 3

Para obter x,y,z, dividimos xyz pelas dadas:
x = xyzyz = pm 24raiz224 = pm raiz2,
y = xyzxz = pm 24raiz28 = pm 3raiz2,
z = xyzxy = pm 24raiz26 = pm 4raiz2
O sinal comum não altera a soma dos quadrados.

Passo 4

Calculamos a soma dos quadrados:
x^2 + y^2 + z^2 = (raiz2)^2 + (3raiz2)^2 + (4raiz2)^2 = 2 + 18 + 32 = 52

Resposta

52

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