Em um cinema, verificou-se que o número de frequentadores ( x ) por sessão relaciona-va-se com o preço de ingresso ( p ) por meio da relação p=15-0,015 x.
Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for 600?

Passo 1

O enunciado dá a lei de demanda
p = 15 - 0,015,x
onde x é o número de frequentadores (lotação máxima 600) e p o preço do ingresso. Queremos escolher p (equivalente a escolher x) para maximizar a receita R. O conteúdo aqui é otimização de função polinomial usando derivada.

Passo 2

Expressamos a receita em função de x:
R(x)=xcdot p = xl(15 - 0,015,xr)=15,x - 0,015,x^2
Para achar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
R'(x)=ddxl(15,x - 0,015,x^2r)=15 - 0,03,x=0
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x=150,03=500

Passo 3

Como 500<=600, o ponto crítico está dentro da capacidade. Basta então calcular o preço correspondente:
p = 15 - 0,015cdot500 = 15 - 7,5 = 7,5

Resposta

O preço que maximiza a receita é 7,50.

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