Uma cisterna cônica cujo bordo tem 20 pés de diâmetro e cuja profundidade tem 20 pés esta cheia de água ( W=62,5 ). Calcular o trabalho necessário para alçar a água a 15 pés de altura acimc do nível do bordo da cisterna.
Resp. \quad \frac{2500000 \pi}{3} libras por pé.

Passo 1

O enunciado descreve uma cisterna cônica de profundidade 20 ft e diâmetro do bordo 20 ft (logo raio R=10 ft), totalmente cheia de água de peso específico W=62,5 lb/ft ^3. Queremos calcular o trabalho de bombear toda a água até 15 ft acima do bordo. O conteúdo envolvido é cálculo de trabalho por integração de fatias horizontais.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical x que mede a distância, em pés, a partir do vértice (fundo da cisterna) até uma fatia de água, de espessura dx. Nesse referencial:
– a altura total da cisterna é H=20 ft;
– o raio da fatia, por semelhança de triângulos, é
r(x)=\frac{R}{H}\,x=\frac{10}{20}\,x=\frac{x}{2};
– para bombear a água daquela fatia até 15 ft acima do bordo, a distância de elevação é
d(x)=\bigl(H - x\bigr)+15=(20 - x)+15=35 - x.

Passo 3

A área da seção transversal da fatia é \pi\,r(x)^2, logo o volume da fatia vale
dV=\pi\bigl(r(x)\bigr)^2\,dx =\pi\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^2dx =\frac{\pi\,x^2}{4}\,dx.
O peso dessa fatia é
dF=W\,dV =62{,}5\;\frac{\text{lb}}{\text{ft}^3}\cdot\frac{\pi\,x^2}{4}\,dx =\frac{62{,}5\,\pi\,x^2}{4}\,dx.

Passo 4

O trabalho para elevar essa fatia é o peso vezes a distância de elevação, isto é,
dW =dF\cdot d(x) =\frac{62{,}5\,\pi\,x^2}{4}\,(35 - x)\,dx.
Para obter o trabalho total, integramos x de 0 até 20:

Passo 5

W =\int_{0}^{20}\frac{62{,}5\,\pi}{4}\;x^2\,(35 - x)\,dx =\frac{62{,}5\,\pi}{4} \int_{0}^{20}\bigl(35x^2 - x^3\bigr)\,dx.
Calculando a integral:
\int_{0}^{20}35x^2\,dx =35\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{20} =35\cdot\frac{8000}{3} =\frac{280000}{3},
\int_{0}^{20}x^3\,dx =\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{20} =\frac{160000}{4} =40000.
Logo
W =\frac{62{,}5\,\pi}{4} \Bigl(\frac{280000}{3}-40000\Bigr) =\frac{62{,}5\,\pi}{4}\cdot\frac{160000}{3} =\frac{62{,}5\cdot160000\,\pi}{12} =\frac{2500000\,\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2500000\,\pi}{3} libras-pé.

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