Uma cisterna cônica cujo bordo tem 20 pés de diâmetro e cuja profundidade tem 20 pés esta cheia de água (
). Calcular o trabalho necessário para alçar a água a 15 pés de altura acimc do nível do bordo da cisterna.
Resp.
libras por pé.
Passo 1
O enunciado descreve uma cisterna cônica de profundidade
ft e diâmetro do bordo
ft (logo raio
ft), totalmente cheia de água de peso específico
lb/ft
. Queremos calcular o trabalho de bombear toda a água até
ft acima do bordo. O conteúdo envolvido é cálculo de trabalho por integração de fatias horizontais.
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical
que mede a distância, em pés, a partir do vértice (fundo da cisterna) até uma fatia de água, de espessura
. Nesse referencial:
– a altura total da cisterna é ft;
– o raio da fatia, por semelhança de triângulos, é
– a altura total da cisterna é
– o raio da fatia, por semelhança de triângulos, é
– para bombear a água daquela fatia até
ft acima do bordo, a distância de elevação é
Passo 3
A área da seção transversal da fatia é
, logo o volume da fatia vale
O peso dessa fatia é
Passo 4
O trabalho para elevar essa fatia é o peso vezes a distância de elevação, isto é,
Para obter o trabalho total, integramos
de
até
:
Passo 5
Calculando a integral:
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