Classifique em injetora, sobrejetora ou bijetora a aplicação f: N N definida por
n2 & se n é par n+12 & se n é ímpar ééí

Passo 1

O enunciado define a aplicação
fcolon Nto N, f(n)= dfracn2,&se (n) é par,[6pt] dfracn+12,&se (n) é ímpar ééí
Queremos verificar se f é injetora (cada valor de saída tem no máximo uma origem), sobrejetora (cada valor em N é atingido) ou bijetora (ambas).]

Passo 2

Para testar injetividade, basta encontrar dois naturais distintos que geram o mesmo valor de f. Sejam kinN. Note que
f(2k)=2k2=k e f(2k-1)=(2k-1)+12=2k2=k
Como 2kneq 2k-1 mas f(2k)=f(2k-1), concluímos que há colisão de valores, logo f não é injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, tomemos um valor arbitrário minN. Precisamos mostrar que existe ninN tal que f(n)=m. Basta observar que
f(2m)=2m2=m Longrightarrow todo (m) em (N) tem pelo menos um antecedente (n=2m)
Isto mostra que f atinge todo elemento de N, portanto é sobrejetora.

Passo 4

Juntando os resultados: f não é injetora, mas é sobrejetora. Logo não pode ser bijetora (que exige ambas as propriedades).

Resposta

A função f é sobrejetora, mas não injetora.

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