Seja a função de A=x in R mid-5 <= x<2 em B subset R, definida por f(x)=|x+3|-2. Se f é sobrejetora, determine B.

Passo 1

O enunciado define
A = xinRmid -5<= x<2 e
f(x)=|x+3|-2,
e pede o conjunto BsubsetR tal que fcolon Ato B seja sobrejetora.
O conteúdo usado será a determinação da imagem de uma função com valor absoluto.

Passo 2

Para simplificar, faça a troca de variável
t = x + 3
Como x varia em [-5,2), então
tin[-5+3,;2+3)=[-2,5)
Em função de t, temos
f(x)=|t|-2

Passo 3

Analisamos dois ramos de |t|:
1. Se t>=0, ou seja tin[0,5), então
f = t - 2 Longrightarrow fin[0-2,;5-2)=[-2,3)
2. Se t<0, ou seja tin[-2,0), então
f = -,t - 2
Em t=-2 temos -(-2)-2=0, e em tto0^- temos -t-2to-2. Logo
fin(-2,0]

Passo 4

Unindo os dois intervalos:
(-2,0];cup;[-2,3) = [-2,3)
Verificamos que -2 é atingido pois |x+3|-2=-2 quando x=-3in A, e 3 não é atingido pois exigiria x=2notin A.

Resposta

B = [-2,3)

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