Classifique em V ou F:
a) varnothing subset(A cup B)
b) (A cup B) subset A
c) A supset(A cup B)
d) (A cup B) subset(A cup B)
e) B subset(A cup B)
f) (A cup B) subset(A cup B cup C)
admitindo que A, B e C são conjuntos quaisquer.

Passo 1

O enunciado pede para classificar seis inclusões entre conjuntos arbitrários A, B e C como verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar a definição de subconjunto:
Xsubset Y
se, e somente se, todo elemento de X pertence a Y. Também usaremos propriedades básicas da união de conjuntos.

Passo 2

Verificamos primeiro as inclusões que são sempre verdadeiras, para quaisquer A,B,C:
Para (a)
varnothingsubset(Acup B)
é verdadeira porque o conjunto vazio não tem elementos que possam violar a inclusão (princípio do vacuamente verdadeiro).
Para (d)
(Acup B)subset(Acup B)
é verdadeira por reflexividade: todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
Para (e)
Bsubset(Acup B)
é verdadeira pois, se xin B, então necessariamente xin Acup B.
Para (f)
(Acup B)subset(Acup Bcup C)
é verdadeira porque qualquer xin Acup B também pertence a Acup Bcup C.

Passo 3

Agora as inclusões que falham sem condições adicionais:
Para (b)
(Acup B)subset A
seria verdadeira somente se Bsubset A, o que não vale para conjuntos arbitrários. Logo é falsa.
Para (c)
Asupset(Acup B)
é equivalente a (Acup B)subset A, e por isso também é falsa na ausência de hipóteses sobre B.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) V
(f) V

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