(Colégio Naval-87) Por um ponto P exterior a um circulo de centro O e raio \mathrm{R}=1 \mathrm{~cm}, traça-se uma secante que intercepta a circunferência do circulo dado nos pontos A e B, nesta ordem. Traça-se pelo ponto A uma paralela à reta \overline{\mathrm{PO}} que intercepta a mesma circunferência no ponto C .
Sabendo que o ângulo OPA mede 15^{\circ}, o comprimento do menor arco BC, em cm, é:
a) \pi / 12
b) \pi / 6
c) \pi / 4
d) \pi / 3

Passo 1

O enunciado diz: temos um círculo de centro O e raio R=1 cm e um ponto P fora dele. A partir de P traça-se uma secante que corta a circunferência nos pontos A e depois B. Pelo ponto A traça-se a reta AC paralela a PO, que intercepta novamente a circunferência em C. Sabe-se que \angle OPA=15^\circ. O que se pede é o comprimento do menor arco BC. Para resolver, vamos usar paralelismo e o Teorema do Ângulo Inscrito.

Passo 2

Como AC\parallel PO, os ângulos alternos internos
\angle BAC e \angle OPA são congruentes. Portanto
\angle BAC \;=\;\angle OPA \;=\;15^\circ.

Passo 3

Pelo Teorema do Ângulo Inscrito, a medida em graus do arco BC é o dobro do ângulo inscrito \angle BAC. Logo
m(\overset{\frown}{BC}) \;=\;2\;\times15^\circ \;=\;30^\circ.

Passo 4

Transformando essa medida em comprimento de arco no círculo de raio 1 cm:
\text{comprimento}(BC) =R\cdot\bigl(\text{ângulo em rad}\bigr) =1\cdot\frac{30\pi}{180} =\frac{\pi}{6}\\ \text{cm}.â

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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