(Colégio Naval-80) Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 6 cm . A área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e tangente os dois catetos é de:
a) \frac{9 \pi}{4} \mathrm{~cm}^{2}
b) \frac{25 \pi}{9} \mathrm{~cm}^{2}
c) \frac{16 \pi}{9} \mathrm{~cm}^{2}
d) 20 \pi \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 6 cm. Pede-se a área do círculo que é tangente aos dois catetos e cujo centro fica sobre a hipotenusa. Vamos usar geometria analítica: posicionar o triângulo no plano, achar a equação da hipotenusa e impor que o centro do círculo esteja nessa reta e seja equidistante dos eixos (tangente aos catetos).

Passo 2

Posicionamos o triângulo de modo que um cateto de 6 cm coincida com o eixo x (de 0 a 6) e o outro de 2 cm com o eixo y (de 0 a 2). Assim, a hipotenusa é a reta que passa por (6,0) e (0,2). A inclinação é
m = \frac{2 - 0}{0 - 6} = -\frac13,
logo sua equação cartesiana é
y = -\frac13 x + 2.

Passo 3

Para que o círculo seja tangente aos dois eixos coordenados (que representam os catetos), seu centro deve estar na forma (r,r) e seu raio é r. Isso porque a distância de (r,r) ao eixo x (reta y=0) é r e ao eixo y (reta x=0) também é r.

Passo 4

Impondo que o centro (r,r) pertença à hipotenusa, substituímos na equação da reta:
r \;=\; -\tfrac13\,r + 2.
Somando \tfrac13r de ambos os lados,
r + \tfrac13r = 2\quad\Longrightarrow\quad \tfrac43\,r = 2\quad\Longrightarrow\quad r = \tfrac{2}{\tfrac43} = \tfrac32.

Passo 5

O raio do círculo é r = \tfrac32 cm. A área é
\text{Área} = \pi\,r^{2} = \pi \Bigl(\tfrac32\Bigr)^{2} = \pi\,\tfrac{9}{4} = \frac{9\pi}{4}\\ \text{cm}^2.Á

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{4}\\ \text{cm}^2 (alternativa a)

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