(Colégio Naval-80) Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 6 cm . A área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e tangente os dois catetos é de:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem
cm e
cm. Pede-se a área do círculo que é tangente aos dois catetos e cujo centro fica sobre a hipotenusa. Vamos usar geometria analítica: posicionar o triângulo no plano, achar a equação da hipotenusa e impor que o centro do círculo esteja nessa reta e seja equidistante dos eixos (tangente aos catetos).
Passo 2
Posicionamos o triângulo de modo que um cateto de
cm coincida com o eixo
(de
a
) e o outro de
cm com o eixo
(de
a
). Assim, a hipotenusa é a reta que passa por
e
. A inclinação é
logo sua equação cartesiana é
Passo 3
Para que o círculo seja tangente aos dois eixos coordenados (que representam os catetos), seu centro deve estar na forma
e seu raio é
. Isso porque a distância de
ao eixo
(reta
) é
e ao eixo
(reta
) também é
.
Passo 4
Impondo que o centro
pertença à hipotenusa, substituímos na equação da reta:
Somando
de ambos os lados,
Passo 5
O raio do círculo é
cm. A área é