Qual é a condição para que y=raiz(x-3)(x^2+2 x-8)x^2+4 x+3, y real, seja definida?

Passo 1

O enunciado pede a condição para que
y = raiz(x-3)l(x^2+2x-8r)x^2+4x+3
seja real. Isso significa dois requisitos principais: o denominador não pode ser zero e o radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero. O conteúdo aqui é análise de sinal de função racional e determinação de domínio por meio de desigualdade.

Passo 2

Vamos escrever o radicando como uma única fração e impor as duas condições:
1. Denominador não nulo:
x^2+4x+3 neq 0
2. Radicando não negativo:
(x-3)l(x^2+2x-8r)x^2+4x+3;>= 0

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador:
x^2+2x-8 = (x+4)(x-2), x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)
Portanto o radicando fica
(x-3)(x-2)(x+4)(x+1)(x+3)
Os pontos críticos são as raízes de numerador x=-4,2,3 e as raízes de denominador x=-3,-1.

Passo 4

Fazendo análise de sinal em cada intervalo determinado por -infty,-4,-3,-1,2,3,infty:
  • Para x<-4: numerador tem sinais - cdot - cdot - = -, denominador - cdot - = +, fração negativa.
  • Para -4<x< -3: numerador + , denominador +, fração positiva.
  • Para -3<x< -1: numerador +, denominador -, fração negativa.
  • Para -1<x<2: numerador +, denominador +, fração positiva.
  • Para 2<x<3: numerador -, denominador +, fração negativa.
  • Para x>3: numerador +, denominador +, fração positiva.
Nos pontos de numerador zero a fração vale zero (permitido), mas nos pontos de denominador zero a função é indefinida (proibido).

Passo 5

Reunindo onde a fração é não negativa e excluindo x=-3 e x=-1, temos:
xin[-4,-3);cup;(-1,2];cup;[3,infty)

Resposta

xin[-4,-3);cup;(-1,2];cup;[3,infty]

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