Qual é a condição para que
,
real, seja definida?
Passo 1
O enunciado pede a condição para que
seja real. Isso significa dois requisitos principais: o denominador não pode ser zero e o radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero. O conteúdo aqui é análise de sinal de função racional e determinação de domínio por meio de desigualdade.
Passo 2
Vamos escrever o radicando como uma única fração e impor as duas condições:
. Denominador não nulo:
Passo 3
Agora fatoramos numerador e denominador:
Portanto o radicando fica
Os pontos críticos são as raízes de numerador
e as raízes de denominador
.
Passo 4
Fazendo análise de sinal em cada intervalo determinado por
:
- Para
: numerador tem sinais , denominador , fração negativa. - Para
: numerador , denominador , fração positiva. - Para
: numerador , denominador , fração negativa. - Para
: numerador , denominador , fração positiva. - Para
: numerador , denominador , fração negativa. - Para
: numerador , denominador , fração positiva.
Nos pontos de numerador zero a fração vale zero (permitido), mas nos pontos de denominador zero a função é indefinida (proibido).
Passo 5
Reunindo onde a fração é não negativa e excluindo
e
, temos: