Qual é o conjunto de valores de p para os quais a inequação x^2+2 x+p>10 é verdadeira para qualquer x pertencente a R ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de p tais que a inequação
x^2 + 2x + p > 10
seja verdadeira para qualquer xinR.
O conteúdo aqui é análise de uma inequação quadrática em que queremos que o trinômio seja positivo para todo x. Para isso, vamos usar o critério de que uma parábola com coeficiente líder positivo fica acima do eixo x para todos os x se, e somente se, o seu discriminante for negativo.

Passo 2

Reescrevemos a inequação em forma padrão definindo
f(x) = x^2 + 2x + (p - 10),
de modo que precisamos de
f(x) > 0para todo xinR

Passo 3

Observamos que f(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 igual a 1>0. Logo, para que f(x)>0 em toda a reta real, basta ter o discriminante negativo:
De<a = b^2 - 4ac,
onde a=1, b=2 e c = p - 10.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot(p - 10) = 4 - 4(p - 10) = 44 - 4p
Impor De<a<0
44 - 4p < 0 Longrightarrow 4p > 44 Longrightarrow p > 11
Para p=11 teríamos De<a=0 e a parábola tocaria o eixo x em um ponto, violando a desigualdade estrita. Portanto, a condição é p>11.

Resposta

p>11

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