Qual é o conjunto de valores de
para os quais a inequação
é verdadeira para qualquer
pertencente a
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
tais que a inequação
seja verdadeira para qualquer
.
O conteúdo aqui é análise de uma inequação quadrática em que queremos que o trinômio seja positivo para todo . Para isso, vamos usar o critério de que uma parábola com coeficiente líder positivo fica acima do eixo
para todos os
se, e somente se, o seu discriminante for negativo.
O conteúdo aqui é análise de uma inequação quadrática em que queremos que o trinômio seja positivo para todo
Passo 2
Reescrevemos a inequação em forma padrão definindo
de modo que precisamos de
Passo 3
Observamos que
é uma parábola com coeficiente de
igual a
. Logo, para que
em toda a reta real, basta ter o discriminante negativo:
onde
,
e
.
Passo 4
Calculamos o discriminante:
Impor
dá
Para
teríamos
e a parábola tocaria o eixo
em um ponto, violando a desigualdade estrita. Portanto, a condição é
.