Determine m de modo que a equação do 2 : grau m x^2-2(m+1) x+m+5=0 tenha raízes reais tais que 0<x1<x2<2.

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a equação de segundo grau
m x^2-2(m+1)x + (m+5)=0
tenha duas raízes reais x1<x2 e ainda
0 < x1 < x2 < 2
O conteúdo que vamos usar inclui: a condição de existência de raízes reais ( De<a>0), a verificação do sinal de f(x) em x=0 e x=2 para garantir que ambas as raízes fiquem entre esses pontos, e a abscissa do vértice para confirmar que o eixo de simetria também esteja em (0,2).

Passo 2

Calculemos o discriminante De<a:
De<a = l[-2(m+1)r]^2 - 4cdot m cdot (m+5) =4(m+1)^2 -4m(m+5) =4l[(m+1)^2-m(m+5)r] =4(1-3m)
Para existirem duas raízes reais distintas, precisamos de
De<a>0 Longrightarrow 1-3m>0 Longrightarrow m<tfrac13

Passo 3

Definimos f(x)=m x^2-2(m+1)x+(m+5). Note que
f(0)=m+5, f(2)=4m-4(m+1)+(m+5)=m+1
Para que ambas as raízes fiquem no intervalo (0,2), o valor de f em 0 e em 2 deve ter o mesmo sinal do coeficiente principal a=m. Assim exigimos
m,(m+5)>0 e m,(m+1)>0

Passo 4

Para garantir que o eixo de simetria da parábola esteja entre 0 e 2, calculamos a abscissa do vértice:
xv = -b2a = --2(m+1)2m =m+1m
Exigimos
0<m+1m<2

Passo 5

Analisemos separadamente os casos de m>0 e m<0:
  • Se m>0, então m(m+5)>0 e m(m+1)>0 são automáticos, mas
    tfracm+1m<2 1+1/m<2Rightarrow m>1, que entra em conflito com m<tfrac13. Logo não há solução em m>0.
  • Se m<0, então m(m+5)>0 e m(m+1)>0 exigem simultaneamente m+5<0 e m+1<0, isto é m<-5. Quanto a
    0<tfracm+1m<2, com m<0 temos tfracm+1m>0 se m<-1 (já implicado em m<-5), e tfracm+1m<2 verifica-se para todo m<0. Por fim, m<-5 satisfaz também m<tfrac13.
Portanto a única possibilidade é
m< -5

Resposta

m< -5.

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