Consideramos os números inteiros de 1 a 1000 inclusive. Somemos entre si todos os que tem todos seus dígitos pares e somemos entre si todos os que tem todos seus dígitos ímpares. Qual soma é maior?

Passo 1

O enunciado pede para, entre os inteiros de 1 a 1000, somar (a) todos os números cujos dígitos são todos pares e (b) todos os números cujos dígitos são todos ímpares, e então ver qual dessas duas somas é maior. O conteúdo envolve contagem combinatória por posição de dígito e soma de progressões.

Passo 2

Vamos achar a soma de todos os números com dígitos todos pares. Definimos
E1 = 2,4,6,8, E0=0,2,4,6,8
Para números de 1 dígito, a soma é
sumdin E1d = 2+4+6+8 = 20

Passo 3

Para números de 2 dígitos ab com ain E1 e bin E0, há 4times5=20 números.
– Soma das dezenas: l(sumain E1ar)times5times10 = 20cdot5cdot10 = 1000
– Soma das unidades: l(sumbin E0br)times4 = 20cdot4 = 80
Logo a soma dos 2 dígitos pares é 1000+80=1080.

Passo 4

Para números de 3 dígitos abc com ain E1, b,cin E0, há 4cdot5cdot5=100 números.
– Soma das centenas: 20cdot(5cdot5)cdot100 = 20cdot25cdot100 = 50000
– Soma das dezenas: 20cdot(4cdot5)cdot10 = 20cdot20cdot10 = 4000
– Soma das unidades: 20cdot(4cdot5) = 20cdot20 = 400
Total de 3 dígitos pares: 50000+4000+400=54400.
Somando tudo para dígitos pares:
20 + 1080 + 54400 = 55500

Passo 5

Agora a soma de todos os números com dígitos todos ímpares. Definimos
O = 1,3,5,7,9
Para 1 dígito, a soma é
sumdin Od = 1+3+5+7+9 = 25

Passo 6

Para 2 dígitos ab com a,bin O, há 5times5=25 números.
– Soma das dezenas: 25cdot5cdot10 = 1250
– Soma das unidades: 25cdot5 = 125
Total de 2 dígitos ímpares: 1250+125=1375.

Passo 7

Para 3 dígitos abc com a,b,cin O, há 5^3=125 números.
– Soma das centenas: 25cdot25cdot100 = 62500
– Soma das dezenas: 25cdot25cdot10 = 6250
– Soma das unidades: 25cdot25 = 625
Total de 3 dígitos ímpares: 62500+6250+625=69375.
Somando tudo para dígitos ímpares:
25 + 1375 + 69375 = 70775

Passo 8

Comparamos as duas somas:
soma pares = 55500, soma ímpares = 70775, í
e vemos que 70775 > 55500.

Resposta

A soma dos números cujos dígitos são todos ímpares é maior.

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