Consideramos os números inteiros de 1 a 1000 inclusive. Somemos entre si todos os que tem todos seus dígitos pares e somemos entre si todos os que tem todos seus dígitos ímpares. Qual soma é maior?
Passo 1
O enunciado pede para, entre os inteiros de 1 a 1000, somar (a) todos os números cujos dígitos são todos pares e (b) todos os números cujos dígitos são todos ímpares, e então ver qual dessas duas somas é maior. O conteúdo envolve contagem combinatória por posição de dígito e soma de progressões.
Passo 2
Vamos achar a soma de todos os números com dígitos todos pares. Definimos
Para números de 1 dígito, a soma é
Passo 3
Para números de 2 dígitos
com
e
, há
números.
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Logo a soma dos 2 dígitos pares é .
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Logo a soma dos 2 dígitos pares é
Passo 4
Para números de 3 dígitos
com
,
, há
números.
– Soma das centenas:
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Total de 3 dígitos pares: .
Somando tudo para dígitos pares:
– Soma das centenas:
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Total de 3 dígitos pares:
Somando tudo para dígitos pares:
Passo 5
Agora a soma de todos os números com dígitos todos ímpares. Definimos
Para 1 dígito, a soma é
Passo 6
Para 2 dígitos
com
, há
números.
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Total de 2 dígitos ímpares: .
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Total de 2 dígitos ímpares:
Passo 7
Para 3 dígitos
com
, há
números.
– Soma das centenas:
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Total de 3 dígitos ímpares: .
Somando tudo para dígitos ímpares:
– Soma das centenas:
– Soma das dezenas:
– Soma das unidades:
Total de 3 dígitos ímpares:
Somando tudo para dígitos ímpares:
Passo 8
Comparamos as duas somas:
e vemos que
.
Resposta
A soma dos números cujos dígitos são todos ímpares é maior.