Considere a função f(x, y)=4 x y^2. Usando a definição de derivada parcial, calcule fx(-1,2) e fy(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=4xy^2 no ponto (-1,2) usando a definição de derivada parcial via limite.

Passo 2

Definimos
fx(-1,2)=limhto0f(-1+h,2)-f(-1,2)h

Passo 3

Calculamos
f(-1+h,2)=4(-1+h)cdot2^2=16(-1+h)=-16+16h,
f(-1,2)=4(-1)cdot2^2=-16,
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f(-1+h,2)-f(-1,2)h =(-16+16h)-(-16)h =16hh =16,
e portanto
fx(-1,2)=limhto016=16

Passo 4

Analogamente, pela definição
fy(-1,2)=limhto0f(-1,2+h)-f(-1,2)h

Passo 5

Temos
f(-1,2+h)=4(-1)(2+h)^2 =-4l(4+4h+h^2r) =-16-16h-4h^2,
f(-1,2)=-16,
então
f(-1,2+h)-f(-1,2)h =(-16-16h-4h^2)-(-16)h =-16h-4h^2h =-16-4h,
de onde
fy(-1,2)=limhto0(-16-4h)=-16

Resposta

fx(-1,2)=16
fy(-1,2)=-16

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