(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^2 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.
Passo 1
O enunciado define a matriz
A = -3 & 4 [6pt] 4 & -5
e pede:
(a) verificar se A é simétrica;
(b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2) associada;
(c) classificar Q via método de Lagrange (completar quadrados);
(d) calcular todos os menores principais de A;
(e) calcular todos os menores principais líderes;
(f) classificar Q usando o sinal desses menores;
(g) encontrar vetores p, qin R^2 com Q( p)>0 e Q( q)<0.
O conteúdo envolve simetria de matrizes, formas quadráticas, completamento de quadrados e critérios de definitude (Lagrange e menores principais).]
Há um quadrado com coeficiente negativo e outro com coeficiente positivo, logo Q é indefinida.
Passo 5
Para (d), os menores principais (determinantes de submatrizes formadas por mesmas linhas e colunas) são:
bul<=t ordem 1 em índice 1:
M1 = detl([-3]r) = -3
bul<=t ordem 1 em índice 2:
M2 = detl([-5]r) = -5
bul<=t ordem 2 (a própria matriz):
M12 = det(A) = (-3)(-5) - (4)(4) = 15-16 = -1
Passo 6
Para (e), os menores principais líderes (leading principal minors) selecionam sempre as primeiras k linhas e colunas:
bul<=t k=1:
De<a1 = -3
bul<=t k=2:
De<a2 = det(A) = -1
Passo 7
Para (f), pelo critério dos menores líderes:
Para positiva definida seria De<a1>0 e De<a2>0, o que não ocorre.
Para negativa definida seria De<a1<0 e De<a2>0, mas De<a2=-1<0.
Logo não é nem positiva nem negativa definida. Como já achamos via Lagrange termos de sinais opostos, Q é indefinida.
Passo 8
Para (g), basta dar exemplos de vetores que façam Q mudar de sinal. Por exemplo:
(a) A é simétrica porque A^T = A.
(b) Q(h1,h2) = -3h1^2 +8h1h2 -5h2^2
(c) Q é indefinida (um termo negativo e outro positivo após completar quadrados).
(d) Menores principais: -3,;-5,;-1.
(e) Menores principais líderes: De<a1=-3,;De<a2=-1.
(f) Pelo critério dos menores líderes, Q é indefinida.
(g) Exemplo de q=(1,0) com Q( q)=-3<0 e p=(4,3) com Q( p)=3>0.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 17