[17] Considere a matriz
A=[rr -3 & 4 4 & -5 ]
(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^2 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.

Passo 1

O enunciado define a matriz
A = -3 & 4 [6pt] 4 & -5
e pede:
(a) verificar se A é simétrica;
(b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2) associada;
(c) classificar Q via método de Lagrange (completar quadrados);
(d) calcular todos os menores principais de A;
(e) calcular todos os menores principais líderes;
(f) classificar Q usando o sinal desses menores;
(g) encontrar vetores p, qin R^2 com Q( p)>0 e Q( q)<0.
O conteúdo envolve simetria de matrizes, formas quadráticas, completamento de quadrados e critérios de definitude (Lagrange e menores principais).]

Passo 2

Para (a), comparamos A e sua transposta:
A^T = -3 & 4 [3pt] 4 & -5 = A
Como A^T=A, concluímos que A é simétrica.]

Passo 3

Para (b), a forma quadrática associada é
Q(h1,h2) = h1&h2 -3 & 4 [3pt] 4 & -5 h1[3pt]h2
Desenvolvendo,
Q(h1,h2) = -3,h1^2 + 2cdot4,h1h2 -5,h2^2 = -3h1^2 +8h1h2 -5h2^2 ]

Passo 4

Para (c), usamos Lagrange completando quadrados em
Q = -3h1^2 +8h1h2 -5h2^2
Agrupamos os dois primeiros termos:
Q = -3l(h1^2 - tfrac83h1h2r) -5h2^2 = -3l[(h1-tfrac43h2)^2 - tfrac169h2^2r] -5h2^2
Logo,
Q = -3,(h1-tfrac43h2)^2 + tfrac163h2^2 -5h2^2 = -3,(h1-tfrac43h2)^2 + tfrac13h2^2
Há um quadrado com coeficiente negativo e outro com coeficiente positivo, logo Q é indefinida.

Passo 5

Para (d), os menores principais (determinantes de submatrizes formadas por mesmas linhas e colunas) são:
bul<=t ordem 1 em índice 1:
M1 = detl([-3]r) = -3
bul<=t ordem 1 em índice 2:
M2 = detl([-5]r) = -5
bul<=t ordem 2 (a própria matriz):
M12 = det(A) = (-3)(-5) - (4)(4) = 15-16 = -1

Passo 6

Para (e), os menores principais líderes (leading principal minors) selecionam sempre as primeiras k linhas e colunas:
bul<=t k=1:
De<a1 = -3
bul<=t k=2:
De<a2 = det(A) = -1

Passo 7

Para (f), pelo critério dos menores líderes:
  • Para positiva definida seria De<a1>0 e De<a2>0, o que não ocorre.
  • Para negativa definida seria De<a1<0 e De<a2>0, mas De<a2=-1<0.
    Logo não é nem positiva nem negativa definida. Como já achamos via Lagrange termos de sinais opostos, Q é indefinida.

Passo 8

Para (g), basta dar exemplos de vetores que façam Q mudar de sinal. Por exemplo:
bul<=t Seja q=(1,0).
Q(1,0) = -3cdot1^2 +8cdot1cdot0 -5cdot0^2 = -3 < 0
bul<=t Seja p=(4,3).
Q(4,3) = -3cdot4^2 +8cdot4cdot3 -5cdot3^2 = -48 +96 -45 = 3 > 0

Resposta

(a) A é simétrica porque A^T = A.
(b) Q(h1,h2) = -3h1^2 +8h1h2 -5h2^2
(c) Q é indefinida (um termo negativo e outro positivo após completar quadrados).
(d) Menores principais: -3,;-5,;-1.
(e) Menores principais líderes: De<a1=-3,;De<a2=-1.
(f) Pelo critério dos menores líderes, Q é indefinida.
(g) Exemplo de q=(1,0) com Q( q)=-3<0 e p=(4,3) com Q( p)=3>0.

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