[15] Seja p(x, y)=a0+a1 x+a2 y+b1 x^2+b2 x y+b3 y^2 um polinômio de ordem dois de duas variáveis. Para qualquer (x^*, y^*), mostre que o polinômio de Taylor de f de ordem 2 no ponto ( x^*, y^* ) é o próprio polinômio p.

Passo 1

O enunciado define
p(x,y)=a0+a1x+a2y+b1x^2+b2xy+b3y^2
e pede para mostrar que o polinômio de Taylor de ordem 2 de p em qualquer ponto l(x^*,y^*r) coincide com p inteira-mente.
Conteúdo: fórmula de Taylor em duas variáveis até a ordem 2, uso de derivadas parciais até segunda ordem.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de p:
px(x,y)=a1+2b1x+b2y, py(x,y)=a2+b2x+2b3y,
pxx(x,y)=2b1, pxy(x,y)=b2, pyy(x,y)=2b3
Como p é de grau 2, todas as derivadas de terceira ordem são zero.

Passo 3

A fórmula de Taylor de ordem 2 em l(x^*,y^*r) é
T2(x,y)=p(x^*,y^*) + px(x^*,y^*),(x-x^*) + py(x^*,y^*),(y-y^*) + tfrac12l[ pxx(x^*,y^*)(x-x^*)^2 +2pxy(x^*,y^*)(x-x^*)(y-y^*) + pyy(x^*,y^*)(y-y^*)^2 r]

Passo 4

Substituindo as derivadas avaliadas em l(x^*,y^*r):
T2(x,y)=p(x^*,y^*) +(a1+2b1x^*+b2y^*)(x-x^*) +(a2+b2x^*+2b3y^*)(y-y^*)
+ b1(x-x^*)^2 + b2(x-x^*)(y-y^*) + b3(y-y^*)^2

Passo 5

Basta expandir e agrupar termos em x^2, xy, y^2, x, y e constante. Voce9 verifica que
  • o coeficiente de x^2 fica b1, de xy fica b2, de y^2 fica b3,
  • os termos lineares em x e y somam a1x e a2y,
  • o termo constante final e9 exatamente a0.
    Logo
T2(x,y) = a0 + a1 x + a2 y + b1 x^2 + b2 x y + b3 y^2 = p(x,y)

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 de p em l(x^*,y^*r) é exatamente p(x,y).

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