[15] Seja
um polinômio de ordem dois de duas variáveis. Para qualquer
, mostre que o polinômio de Taylor de
de ordem 2 no ponto (
) é o próprio polinômio
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que o polinômio de Taylor de ordem
de
em qualquer ponto
coincide com
inteira-mente.
Conteúdo: fórmula de Taylor em duas variáveis até a ordem , uso de derivadas parciais até segunda ordem.
Conteúdo: fórmula de Taylor em duas variáveis até a ordem
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Como
é de grau
, todas as derivadas de terceira ordem são zero.
Passo 3
A fórmula de Taylor de ordem
em
é
Passo 4
Substituindo as derivadas avaliadas em
:
Passo 5
Basta expandir e agrupar termos em
,
,
,
,
e constante. Voce9 verifica que
- o coeficiente de
fica , de fica , de fica , - os termos lineares em
e somam e , - o termo constante final e9 exatamente
.
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Resposta
O polinômio de Taylor de ordem
de
em
é exatamente
.