[22] Considere a matriz
A=[rrr 3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 2 ]
(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2, h3) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^3 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 2
pede (a) verificar se A é simétrica, (b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2,h3), (c) usar o método de Lagrange para classificar Q, (d) calcular todos os menores principais de A, (e) os menores principais líderes, (f) classificar Q via menores principais e (g) encontrar vetores p, q com Q( p)>0 e Q( q)<0 se existirem. Os conteúdos envolvidos são simetria de matrizes, forma quadrática, método de completamento de quadrados (Lagrange) e critérios de Sylvester.

Passo 2

(a) Uma matriz é simétrica se A = A^T. Aqui
A^T = 3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 2
que coincide com A. Portanto, A é simétrica.

Passo 3

(b) A forma quadrática associada é
Fazendo o produto,

Passo 4

(c) Pelo método de Lagrange (completamento de quadrados) separamos as variáveis h1,h2:
3h1^2 -4h1h2 +3h2^2 =3l(h1-23h2r)^2 + l(3-43r)h2^2 =3l(h1-tfrac23h2r)^2 + tfrac53,h2^2
Logo
Q = 3l(h1-tfrac23h2r)^2 + tfrac53,h2^2 + 2,h3^2,
que é soma de quadrados com coeficientes todos positivos. Assim, Q é positiva definida.

Passo 5

(d) Os menores principais (determinantes de submatrizes obtidas escolhendo índices iguais para linhas e colunas) são:
De<a1^(1) = 3, De<a1^(2) = 3, De<a1^(3) = 2;
os menores de ordem 2:
det3&-2-2&3 = 5, det3&00&2 = 6 (para h1,h3 ou h2,h3);
e o menor de ordem 3 é
det(A) = 5cdot 2 = 10

Passo 6

(e) Os menores principais líderes (os que usam sempre as primeiras linhas e primeiras colunas) são:
D1 = 3, D2 = det3&-2-2&3 = 5, D3 = det(A) = 10

Passo 7

(f) Pelo critério de Sylvester, Q é positiva definida se e somente se todos os Dk forem positivos. Como D1=3>0, D2=5>0 e D3=10>0, concluímos novamente que Q é positiva definida.

Passo 8

(g) Em forma quadrática positiva definida temos Q( x)>0 para todo xneq 0, logo pontos com Q( q)<0 não existem. Um exemplo de p com Q( p)>0 é p=(1,0,0) e não há q com Q( q)<0.

Resposta

(a) Sim, pois A^T=A.
(b) Q(h1,h2,h3)=3h1^2-4h1h2+3h2^2+2h3^2
(c) Positiva definida.
(d) Menores principais de ordem 1: 3,3,2; de ordem 2: 5,6,6; de ordem 3: 10.
(e) D1=3,;D2=5,;D3=10
(f) Positiva definida.
(g) Exemplo: p=(1,0,0) com Q( p)=3>0. Não existe q com Q( q)<0.

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