Considere o ponto P(-2,5,4).
(a) Se retas forem traçadas a partir de P perpendiculares aos planos coordenados, quais são as coordenadas do ponto na base de cada reta perpendicular?
(b) Se uma reta for traçada a partir de P para o plano z =-2, quais são as coordenadas do ponto na base da reta perpendicular?
(c) Obtenha o ponto no plano x=3 que está mais próximo de P.

Passo 1

O enunciado fornece o ponto P=(-2,5,4) e pede:
(a) as projeções de P nos três planos coordenados;
(b) a projeção de P no plano z=-2;
(c) o ponto do plano x=3 mais próximo de P.
O conteúdo é geometria analítica de projeção ortogonal em um plano. Vamos usar o método geral: para um plano ax+by+cz+d=0 com vetor normal n=(a,b,c), a reta perpendicular a partir de P é r(t)=P + t,n e encontraremos t impondo a equação do plano.

Passo 2

Nos planos coordenados:
xy-plane ( z=0), n=(0,0,1). Reta:
(x,y,z)=(-2,5,4)+t,(0,0,1)
Impondo z=0Rightarrow 4+t=0Rightarrow t=-4. Logo o pé é
(-2,5,0)
xz-plane ( y=0), n=(0,1,0). Reta:
(x,y,z)=(-2,5,4)+t,(0,1,0)
Impondo y=0Rightarrow 5+t=0Rightarrow t=-5. Pé:
(-2,0,4)
yz-plane ( x=0), n=(1,0,0). Reta:
(x,y,z)=(-2,5,4)+t,(1,0,0)
Impondo x=0Rightarrow -2+t=0Rightarrow t=2. Pé:
(0,5,4)

Passo 3

Plano z=-2 ( z+2=0), n=(0,0,1). Reta:
(x,y,z)=(-2,5,4)+t,(0,0,1)
Impondo z=-2Rightarrow 4+t=-2Rightarrow t=-6. O pé é
(-2,5,-2)

Passo 4

Plano x=3 ( x-3=0), n=(1,0,0). Reta:
(x,y,z)=(-2,5,4)+t,(1,0,0)
Impondo x=3Rightarrow -2+t=3Rightarrow t=5. O ponto mais próximo é
(3,5,4)

Resposta

(a) Nos planos coordenados:
xy-plane: (-2,5,0), xz-plane: (-2,0,4), yz-plane: (0,5,4).
(b) No plano z=-2: (-2,5,-2).
(c) No plano x=3: (3,5,4).

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