Considere
f(x)=sumn=1^infty 11+n^2 x
Para que valôras de x esta série é absolutamente convergente ^9 Em que intervalos 6 uniformemente convergente? Em que intervalos naño & uniformemente convergente? f é contínua nos pontos em que a série converge? f élimitada?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=1^infty11+n^2x
e pede:
  • para quais x ela é absolutamente convergente;
  • em que intervalos é (ou não é) uniformemente convergente;
  • se f é contínua nos pontos de convergência;
  • se f é limitada.
O conteúdo necessário envolve séries de funções, teste da comparação absoluta, critério de Weierstrass (M-teste) para convergência uniforme, e consequências da convergência uniforme (continuidade e limitação local).

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta:
sumn=1^inftyl|tfrac11+n^2xr|
  1. Se x>0, então 1+n^2x>= n^2x e
l|tfrac11+n^2xr|<= 1n^2x,
e sum1/(n^2x)=(1/x)sum1/n^2 converge.
2. Se x<0 e xneq -1/n^2, para grandes n temos |1+n^2x|sim n^2|x| e
l|tfrac11+n^2xr|<= 2n^2|x|
para n suficientemente grande, e sum 1/n^2 converge.
Em x=0 cada termo vale 1 e a série diverge. Em x=-1/n^2 algum denominador é zero, a função não está definida.
Conclusão: a série é absolutamente convergente para todos os x tais que
xneq 0, xneq -1n^2 (n=1,2,dots)

Passo 3

Critério de Weierstrass (M-teste) dá convergência uniforme em intervalos onde existe uma constante positiva m tal que
|1+n^2x|>= m,n^2forall n, forall x no intervalo
Por exemplo, se fixamos um intervalo [alpha,beta]subset(0,infty) com alpha>0, então
|1+n^2x|>= n^2alpha, l|tfrac11+n^2xr|<= tfrac1n^2alpha,
e sum1/(n^2alpha) converge, logo a série converge uniformemente em [alpha,beta]. De modo geral:
  • Em qualquer intervalo fechado contido em (0,infty) ou em qualquer componente de Rsetminus0,-1/n^2 suficientemente afastado de 0 e das singularidades -1/n^2, a convergência é uniforme (M-teste).
  • Se tentarmos um intervalo que se aproxima de x=0 (por ex. (0,b]) ou de algum ponto -1/N^2, então infx |1+n^2x|to0 para algum n fixo, não há encontro de uma sequência majorante sum Mn<infty, e a convergência não é uniforme.

Passo 4

Cada termo xmapsto1/(1+n^2x) é contínuo onde definido, e sobre qualquer intervalo em que a série converge uniformemente, o somatório é contínuo (teorema da troca soma-limite). Portanto f é contínua em todo ponto do domínio de convergência (isto é, para xneq0 e xneq -1/n^2).

Passo 5

Quanto à limitação:
  • Em vizinhanças de x=0 a soma cresce como sum1/(n^2x)sim(pi^2/6)(1/x)toinfty quando xto0^+.
  • Próximo de x=-1/N^2 um termo se torna arbitrariamente grande.
Logo f não é limitada em todo o seu domínio. Em contrapartida, em qualquer intervalo compacto afastado de 0 e das singularidades, f é limitada por convergência uniforme.

Resposta

A) A série é absolutamente convergente para
xneq 0, xneq -1n^2 (n=1,2,dots)
B) É uniformemente convergente em qualquer intervalo fechado contido em (0,infty) ou em qualquer componente de Rsetminus0,-1/n^2 que não se aproxime de 0 nem de -1/n^2.
C) Não é uniformemente convergente em intervalos que se aproximem de 0 nem de qualquer singularidade -1/n^2.
D) f é contínua em todo ponto onde a série converge (isto é, no domínio acima).
E) f não é limitada no seu domínio de convergência.

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