Consideremos sobre uma reta r um segmento fixo AB e um ponto móvel P. Seja M o ponto médio de AP e N o ponto médio de BP. O que podemos dizer a respeito do segmento MN ?

Passo 1

O enunciado diz que temos três pontos A, B fixos sobre uma reta r e um ponto P que se move em r. Definimos M como o ponto médio de AP e N como o ponto médio de BP. O conteúdo aqui é o uso da fórmula do ponto médio e propriedades de vetores (ou coordenadas ao longo de uma reta).

Passo 2

Para facilitar, escolhemos um referencial unidimensional em que cada ponto X em r é representado por um número real xX. Assim, xA, xB são fixos e xP varia.

Passo 3

Pelo teorema do ponto médio, as coordenadas de M e N são
xM = xA + xP2, xN = xB + xP2

Passo 4

A diferença entre as coordenadas de N e M é
xN - xM = xB + xP2 - xA + xP2 = xB - xA2
Isso não depende de xP; é constante.

Passo 5

Portanto o segmento MN é sempre paralelo (na verdade, colinear) a AB e tem comprimento fixo igual à metade de AB. Em termos vetoriais,
MN = tfrac12,AB,
independente da posição de P.

Resposta

O segmento MN é sempre paralelo a AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB, independentemente de onde P se coloque.

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