Consideremos sobre uma reta um segmento fixo e um ponto móvel P. Seja M o ponto médio de AP e N o ponto médio de BP. O que podemos dizer a respeito do segmento MN ?
Passo 1
O enunciado diz que temos três pontos A, B fixos sobre uma reta r e um ponto P que se move em r. Definimos M como o ponto médio de AP e N como o ponto médio de BP. O conteúdo aqui é o uso da fórmula do ponto médio e propriedades de vetores (ou coordenadas ao longo de uma reta).
Passo 2
Para facilitar, escolhemos um referencial unidimensional em que cada ponto X em r é representado por um número real xX. Assim, xA, xB são fixos e xP varia.
Passo 3
Pelo teorema do ponto médio, as coordenadas de M e N são
xM = xA + xP2, xN = xB + xP2
Passo 4
A diferença entre as coordenadas de N e M é
xN - xM = xB + xP2 - xA + xP2 = xB - xA2
Isso não depende de xP; é constante.
Passo 5
Portanto o segmento MN é sempre paralelo (na verdade, colinear) a AB e tem comprimento fixo igual à metade de AB. Em termos vetoriais,
MN = tfrac12,AB,
independente da posição de P.
Resposta
O segmento MN é sempre paralelo a AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB, independentemente de onde P se coloque.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 28