Construa o gráfico cartesiano da função em R definida por f(x)=2^2 x-1.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função exponencial definida em R por
f(x)=2^2x-1
O conteúdo envolve: definição de função exponencial, domínio e imagem, assíntota horizontal, transformação de escala e determinação de pontos notáveis para esboço.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em forma que evidencie a base e o fator de escala:
f(x)=2^2x-1=2^-1cdot2^2x=12,(2^2)^x=12,4^x
Isso mostra que f é um exponencial de base 4 comprimido verticalmente por 1/2.

Passo 3

Analisamos domínio, imagem e assíntota:
  • Domínio: todo R, pois a exponencial está definida em todos os reais.
  • Imagem: (0,infty), já que 4^x>0 para todo x e a divisão por 2 mantém positividade.
  • Assíntota horizontal: y=0, pois limxto-infty4^x=0 e, portanto, limxto-inftyf(x)=0.

Passo 4

Determinamos alguns pontos-chave para guiar o esboço:
f(0)=12,4^0=12, fl(tfrac12r)=12,4^1/2=12cdot2=1,
f(1)=12,4^1=2, fl(-tfrac12r)=12,4^-1/2=12cdot12=14

Passo 5

Monotonicidade e esboço:
  • Como a base 4>1, f é crescente em R.
  • Identificamos a assíntota y=0, marcamos os pontos l(-tfrac12,tfrac14r), (0,tfrac12), (tfrac12,1), (1,2) e desenhamos a curva suave que os conecta, aproximando-se de y=0 à esquerda e crescendo rapidamente à direita.

Resposta

O gráfico de f(x)=2^2x-1 é uma curva exponencial crescente, com assíntota horizontal y=0, domínio R, imagem (0,infty) e que passa pelos pontos l(-tfrac12,tfrac14r), (0,tfrac12), (tfrac12,1) e (1,2).

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