Construir o gráfico das funções seguintes:
y=12 x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função quadrática
y = tfrac12 x^2 + 1
O conteúdo é estudo de parábolas: precisamos identificar os coeficientes, a abertura, o vértice, interceptos e alguns pontos para esboçar a curva.

Passo 2

Escrevendo a função no formato y=ax^2+bx+c, temos
a = tfrac12, b = 0, c = 1
Como a>0, a parábola abre para cima. O eixo de simetria é a reta
x = -b2a = -02cdot tfrac12 = 0

Passo 3

Calcular o vértice V=(xV,yV):
xV = -b2a = 0,
yV = f(0) = tfrac12cdot0^2 + 1 = 1
Logo, V=(0,1).

Passo 4

Intercepto com o eixo y: basta x=0, já vimos que y(0)=1, então o ponto (0,1) é o único intercepto com o eixo y.
Interceptos com o eixo x: resolver
tfrac12 x^2 + 1 = 0
implica x^2 = -2, sem raízes reais. Portanto, não há interceptos reais em x.

Passo 5

Escolher valores simétricos de x em torno de 0 para completar o esboço:
c|ccccc x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2hline y = tfrac12 x^2 + 1 & 3 & 1,5 & 1 & 1,5 & 3
Isso dá pontos (-2,3), (-1,1,5), (0,1), (1,1,5), (2,3).

Passo 6

Para esboçar o gráfico, desenhe o eixo x e y, marque o vértice (0,1) e os pontos da tabela, e trace uma curva suave passando por eles, lembrando que a parábola abre para cima e é simétrica em relação ao eixo x=0.

Resposta

O gráfico de y=tfrac12x^2+1 é uma parábola com vértice em (0,1), aberta para cima, sem interceptos reais em x, passando pelos pontos (-2,3), (-1,1,5), (0,1), (1,1,5) e (2,3).

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