Dada as funções seguintes, classifique-as em:
I) injetora
III) bijetora
II) sobrejetora
IV) não é injetora nem sobrejetora
g: R R
g(x)= x-1 & se x >= 1 0 & se -1<x<1 x+1 & se x <=-1

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos classificá-la quanto a injetividade e sobrejetividade, usando as definições:
segue .
é sobrejetora se para todo existe tal que .
– Depois podemos concluir se é bijetora ou não.

Passo 2

Verificação de injetividade.
Note que para todo x com -1<x<1 temos g(x)=0. Logo, existem infinitos pontos (por exemplo x=0 e x=0,5) tais que
g(0)=0 e g(0,5)=0,
mas 0neq0,5. Portanto g não é injetora.

Passo 3

Verificação de sobrejetividade.
– Se y>=0, basta escolher x=y+1>=1. Então
g(y+1) = (y+1)-1 = y
– Se y<=0, basta escolher x=y-1<=-1. Então
g(y-1) = (y-1)+1 = y
Dessa forma, para qualquer yinR encontramos um x com g(x)=y. Logo g é sobrejetora.

Passo 4

Como g não é injetora, mas é sobrejetora, ela se classifica apenas como sobrejetora.

Resposta

II) sobrejetora

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