Nas seguintes funções em , determine a função inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
Queremos encontrar . Verificar a injetividade em cada ramo e achar a imagem de cada ramo; . Inverter explicitamente cada fórmula no seu respectivo intervalo de valores; . Unir os resultados num único enunciado de função inversa.
Passo 2
Determinar a imagem de cada ramo:
Para x>= 0, como x^2>= 0, o ramo cobre [0,infty).
Para x<0, temos 2x<0, então esse ramo cobre (-infty,0).
As imagens se juntam em R sem sobreposição de valores positivos e negativos, e 0 vem só do ramo x>=0. Logo f é bijetiva de R em R.
Passo 3
Inverter cada ramo:
Se y>= 0, então veio da parte x^2=y com x>=0. Logo
x=raizy
Se y<0, então veio da parte 2x=y com x<0. Logo
x=y2
Passo 4
Juntando as duas expressões, a inversa f^-1 é dada por
f^-1(y)= dfracy2,&y<0, raizy,&y>= 0
Resposta
f^-1(y)= dfracy2,&y<0, raizy,&y>= 0
Cálculo - Gelson Iezzi, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 1: Conjuntos e Funções - 9ª Edição - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 504.c