Nas seguintes funções em R, determine a função inversa.
f(x)=lx^2 se x >= 0 2 x se x<0

Passo 1

O enunciado dá a função
Queremos encontrar . Verificar a injetividade em cada ramo e achar a imagem de cada ramo;
. Inverter explicitamente cada fórmula no seu respectivo intervalo de valores;
. Unir os resultados num único enunciado de função inversa.

Passo 2

Determinar a imagem de cada ramo:
  • Para x>= 0, como x^2>= 0, o ramo cobre [0,infty).
  • Para x<0, temos 2x<0, então esse ramo cobre (-infty,0).
    As imagens se juntam em R sem sobreposição de valores positivos e negativos, e 0 vem só do ramo x>=0. Logo f é bijetiva de R em R.

Passo 3

Inverter cada ramo:
  • Se y>= 0, então veio da parte x^2=y com x>=0. Logo
x=raizy
  • Se y<0, então veio da parte 2x=y com x<0. Logo
x=y2

Passo 4

Juntando as duas expressões, a inversa f^-1 é dada por
f^-1(y)= dfracy2,&y<0, raizy,&y>= 0

Resposta

f^-1(y)= dfracy2,&y<0, raizy,&y>= 0

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