3 Dadas as inclinações de duas retas, como pode você determinar se as retas são ou não perpendiculares?

Passo 1

O enunciado pergunta como, dadas as inclinações (ou coeficientes angulares) de duas retas, podemos saber se elas são perpendiculares. O conteúdo é geometria analítica no plano, e o que vamos usar é a relação entre coeficiente angular de uma reta e o ângulo que ela forma com o eixo x.

Passo 2

Lembrando que a inclinação (coeficiente angular) de uma reta é
m = \tan(\theta),
onde \theta é o ângulo que a reta faz com o eixo x. Se as retas têm inclinações m_1 e m_2, podemos associar ângulos \theta_1 e \theta_2 tais que
m_1 = \tan(\theta_1), \qquad m_2 = \tan(\theta_2).
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo entre elas vale 90^\circ, ou seja,
\theta_2 = \theta_1 + \tfrac{\pi}{2}.
Usando a fórmula da tangente da soma de ângulos, temos
\tan(\theta_2) = \tan\!\bigl(\theta_1 + \tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\frac{1}{\tan(\theta_1)}.
Isso implica
m_2 = -\frac{1}{m_1},
ou, de forma equivalente,
m_1\,m_2 = -1.
Logo, sempre que m_1 e m_2 forem finitos e m_1\,m_2=-1, as retas são perpendiculares.

Passo 3

No caso especial em que uma reta é vertical (inclinação indefinida) e a outra é horizontal (inclinação 0), também temos perpendicularidade. De fato, a reta horizontal tem m=0 e a vertical não admite m, mas esse par é a situação-limite de m_1\,m_2=-1.

Resposta

Duas retas de inclinações m_1 e m_2 são perpendiculares se, e somente se,
m_1\,m_2 = -1,
ou, no caso de uma reta ser vertical, a outra deve ser horizontal.

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