3 Dadas as inclinações de duas retas, como pode você determinar se as retas são ou não perpendiculares?
Passo 1
O enunciado pergunta como, dadas as inclinações (ou coeficientes angulares) de duas retas, podemos saber se elas são perpendiculares. O conteúdo é geometria analítica no plano, e o que vamos usar é a relação entre coeficiente angular de uma reta e o ângulo que ela forma com o eixo
.
Passo 2
Lembrando que a inclinação (coeficiente angular) de uma reta é
onde
é o ângulo que a reta faz com o eixo
. Se as retas têm inclinações
e
, podemos associar ângulos
e
tais que
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo entre elas vale
, ou seja,
Usando a fórmula da tangente da soma de ângulos, temos
Isso implica
ou, de forma equivalente,
Logo, sempre que
e
forem finitos e
, as retas são perpendiculares.
Passo 3
No caso especial em que uma reta é vertical (inclinação indefinida) e a outra é horizontal (inclinação
), também temos perpendicularidade. De fato, a reta horizontal tem
e a vertical não admite
, mas esse par é a situação-limite de
.
Resposta
Duas retas de inclinações
e
são perpendiculares se, e somente se,
ou, no caso de uma reta ser vertical, a outra deve ser horizontal.