Dado o ponto A(-2,4), determine as coordenadas de dois pontos P e Q , situados respectivamente sobre as retas y=3 x e y=-x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ .

Passo 1

O enunciado dá o ponto médio A(-2,4) de um segmento PQ, sabendo-se que P está na reta y=3x e Q está na reta y=-x. O conteúdo aqui é o conceito de ponto médio e parametrização de reta.

Passo 2

Vamos parametrizar P e Q usando um parâmetro real para cada reta:
P=(p,3p) pertence a y=3x
Q=(q,-q) pertence a y=-x

Passo 3

Pela definição de ponto médio, temos
P+Q2=A,
isto é,
(p+q,;3p - q)2=(-2,4)
Isso gera o sistema
p+q=-4, 3p - q=8

Passo 4

Somando as duas equações do sistema, obtemos
(p+q)+(3p-q)= -4 + 8 Longrightarrow 4p=4 Longrightarrow p=1
Substituindo p=1 em p+q=-4, temos
1+q=-4 Longrightarrow q=-5

Passo 5

Com p=1 e q=-5, obtemos as coordenadas:
P=(1,3cdot1)=(1,3), Q=(-5,-(-5))=(-5,5)

Resposta

As coordenadas procuradas são
P=(1,3)
Q=(-5,5).

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