Dadas as retas rm:(2 m+1) x-(3 m-1) y+3 m-1=0, em que m é um número real qualquer, responda:
a) As retas passam por um ponto fixo?
b) Existe m para o qual rm coincide com um dos eixos?
Justifique as respostas.

Passo 1

O enunciado fornece a família de retas
rm:;(2m+1)x;-;(3m-1)y;+;3m-1;=;0
onde m é parâmetro real. Pede-se:
a) verificar se há um ponto (x,y) que pertence a todas as rm (um ponto fixo),
b) encontrar m tal que rm coincida com um dos eixos coordenados.

Passo 2

Para existir ponto fixo (x,y) precisamos que, para todo m,
(2m+1)x - (3m-1)y + 3m -1 = 0
Reescrevendo em função de m temos um polinômio em m:
m,(2x - 3y +3);+;(x + y -1);=;0forall m
Para que isso ocorra para todo m, os coeficientes devem ser nulos:
2x - 3y +3 = 0, x + y -1 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema
  1. De x + y -1=0 vem y=1-x.
  2. Substituindo em 2x - 3y +3=0:
2x - 3(1 - x) +3 = 2x -3 +3x +3 =5x = 0 ;Longrightarrow;x=0,
logo y=1.
Portanto todas as retas passam por (0,1).

Passo 4

Para rm coincidir com um eixo, devemos obter a equação x=0 (eixo Oy) ou y=0 (eixo Ox).
Em cada caso impomos que o coeficiente do outro variável seja zero e a constante também se ajuste.

Passo 5

Caso y=0 (eixo Ox), a equação deve ter coeficiente de x zero e constante zero, mantendo coeficiente de yneq0.
Coeficiente de x: 2m+1=0Rightarrow m=-tfrac12.
Para m=-tfrac12, a constante 3m-1=-tfrac32-1=-tfrac52neq0, então a reta é
52y - 52=0;Longrightarrow;y=1,
que não é o eixo y=0. Logo não há m que faça rm coincidir com o eixo Ox.

Passo 6

Caso x=0 (eixo Oy), impomos coeficiente de y nulo e constante zero, mantendo coeficiente de xneq0.
Coeficiente de y: -(3m-1)=0Rightarrow m=tfrac13.
Para m=tfrac13, a constante 3m-1=1-1=0 e o coeficiente de x é 2m+1=tfrac23+1=tfrac53neq0.
A equação fica
53x = 0 ;Longrightarrow; x=0,
que é exatamente o eixo Oy.

Resposta

a) Sim. Todas as retas rm passam pelo ponto (0,1).
b) Existe: para m=tfrac13, a reta rm coincide com o eixo Oy.

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