Dadas as retas
, em que
é um número real qualquer, responda:
a) As retas passam por um ponto fixo?
b) Existe
para o qual
coincide com um dos eixos?
Justifique as respostas.
a) As retas passam por um ponto fixo?
b) Existe
Passo 1
O enunciado fornece a família de retas
onde
é parâmetro real. Pede-se:
a) verificar se há um ponto que pertence a todas as
(um ponto fixo),
b) encontrar tal que
coincida com um dos eixos coordenados.
a) verificar se há um ponto
b) encontrar
Passo 2
Para existir ponto fixo
precisamos que, para todo
,
Reescrevendo em função de
temos um polinômio em
:
Para que isso ocorra para todo
, os coeficientes devem ser nulos:
Passo 3
Resolvendo o sistema
- De
vem . - Substituindo em
:
logo
.
Portanto todas as retas passam por .
Portanto todas as retas passam por
Passo 4
Para
coincidir com um eixo, devemos obter a equação
(eixo
) ou
(eixo
).
Em cada caso impomos que o coeficiente do outro variável seja zero e a constante também se ajuste.
Em cada caso impomos que o coeficiente do outro variável seja zero e a constante também se ajuste.
Passo 5
Caso
(eixo
), a equação deve ter coeficiente de
zero e constante zero, mantendo coeficiente de
.
Coeficiente de :
.
Para , a constante
, então a reta é
Coeficiente de
Para
que não é o eixo
. Logo não há
que faça
coincidir com o eixo
.
Passo 6
Caso
(eixo
), impomos coeficiente de
nulo e constante zero, mantendo coeficiente de
.
Coeficiente de :
.
Para , a constante
e o coeficiente de
é
.
A equação fica
Coeficiente de
Para
A equação fica
que é exatamente o eixo
.
Resposta
a) Sim. Todas as retas
passam pelo ponto
.
b) Existe: para , a reta
coincide com o eixo
.
b) Existe: para