Defina \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}.
7. \mathbf{a}=2 \mathbf{i}+\mathbf{j}, \quad \mathbf{b}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para definir o produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^3 e, em seguida, calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
para \displaystyle \mathbf{a}=2\,\mathbf{i}+\mathbf{j}
e \displaystyle \mathbf{b}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Passo 2

O produto escalar de dois vetores \displaystyle \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)
e \displaystyle \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)
é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x\,v_x + u_y\,v_y + u_z\,v_z.
Esse resultado é um escalar que mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor no outro.

Passo 3

Primeiro, identificamos as componentes de cada vetor: \displaystyle \mathbf{a}=(2,1,0)
e \displaystyle \mathbf{b}=(1,-1,1).
Aplicando a definição, temos
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot 1 = 2 - 1 + 0 = 1.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1

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