Defina uma relação em Z por a R b se a^2=b^2.
(a) Prove que R é uma relação de equivalência.
(b) Descreva as classes de equivalência.

Passo 1

O enunciado define em Z a relação
a,R,b Long<=ftrightarrow a^2=b^2
Precisamos mostrar que R é reflexiva, simétrica e transitiva (logo, relação de equivalência) e depois descrever as classes de equivalência.

Passo 2

Para provar que R é uma relação de equivalência, verificamos as três propriedades:
  1. Reflexividade: para todo ainZ, a,R,a.
  2. Simetria: se a,R,b então b,R,a.
  3. Transitividade: se a,R,b e b,R,c então a,R,c.

Passo 3

(Reflexividade) Para qualquer ainZ vale trivialmente
a^2=a^2,
logo a,R,a. Assim, R é reflexiva.

Passo 4

(Simetria) Se a,R,b então a^2=b^2. Mas então também b^2=a^2, o que implica b,R,a. Logo, R é simétrica.

Passo 5

(Transitividade) Se a,R,b e b,R,c, então
a^2=b^2 e b^2=c^2 ;Longrightarrow; a^2=c^2,
portanto a,R,c. Assim, R é transitiva.

Passo 6

Dada ainZ, a sua classe de equivalência é
[a]R ;=;,binZmid b^2=a^2 ;=;,a,,-a
Em particular, [0]R=0.

Resposta

As classes de equivalência são
[0]R = 0,
e para cada inteiro não nulo n,
[n]R = n,,-n

Exercícios de Livros Relacionados