Defina uma relação em
por
se
.
(a) Prove que
é uma relação de equivalência.
(b) Descreva as classes de equivalência.
(a) Prove que
(b) Descreva as classes de equivalência.
Passo 1
O enunciado define em
a relação
Precisamos mostrar que
é reflexiva, simétrica e transitiva (logo, relação de equivalência) e depois descrever as classes de equivalência.
Passo 2
Para provar que
é uma relação de equivalência, verificamos as três propriedades:
- Reflexividade: para todo
, . - Simetria: se
então . - Transitividade: se
e então .
Passo 3
(Reflexividade) Para qualquer
vale trivialmente
logo
. Assim,
é reflexiva.
Passo 4
(Simetria) Se
então
. Mas então também
, o que implica
. Logo,
é simétrica.
Passo 5
(Transitividade) Se
e
, então
portanto
. Assim,
é transitiva.
Passo 6
Dada
, a sua classe de equivalência é
Em particular,
.
Resposta
As classes de equivalência são
e para cada inteiro não nulo
,