Defina três relações de equivalência no conjunto dos estudantes de sua aula de matemática discreta, diferentes das relações discutidas no texto. Determine as classes de equivalência para cada uma dessas relações de equivalência.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos três relações de equivalência no conjunto
dos estudantes da turma e determinar as classes de equivalência de cada relação. O conteúdo envolve a noção de relações reflexivas, simétricas e transitivas, e o fato de que cada relação de equivalência em
gera uma partição de
em classes de equivalência.
Passo 2
Definimos a relação
por “dois estudantes são equivalentes se nasceram no mesmo mês”.
- Reflexiva: todo estudante nasceu em algum mês, logo
. - Simétrica: se
, então nasceram no mesmo mês, daí . - Transitiva: se
e , todos três nasceram no mesmo mês, logo .
As classes de equivalência são, para cada mês,
Passo 3
Definimos a relação
por “dois estudantes são equivalentes se obtiveram a mesma nota final em letra
ou
”.
- Reflexiva: cada estudante tem exatamente uma nota, então
. - Simétrica: se
, ambas notas coincidem, logo . - Transitiva: se
e , todos três têm a mesma nota, logo .
As classes de equivalência são, para cada letra,
Passo 4
Definimos a relação
por “dois estudantes são equivalentes se o comprimento (número de letras) do primeiro nome de cada um tem a mesma paridade”.
- Reflexiva: o comprimento do nome de
tem a mesma paridade que ele próprio, logo . - Simétrica: se
, comprimentos de e têm mesma paridade, logo . - Transitiva: se
e , então e têm mesma paridade de comprimento, logo .
As classes de equivalência são as duas partições por paridade:
Resposta
As três relações de equivalência e suas classes de equivalência são:
-
: mesma origem de mês de nascimento; classes nasceu em para . -
: mesma letra de nota final; classes nota de é para . -
: mesma paridade do comprimento do primeiro nome; classes (nomes de comprimento par) e (nomes de comprimento ímpar).