Defina três relações de equivalência no conjunto dos estudantes de sua aula de matemática discreta, diferentes das relações discutidas no texto. Determine as classes de equivalência para cada uma dessas relações de equivalência.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três relações de equivalência no conjunto S dos estudantes da turma e determinar as classes de equivalência de cada relação. O conteúdo envolve a noção de relações reflexivas, simétricas e transitivas, e o fato de que cada relação de equivalência em S gera uma partição de S em classes de equivalência.

Passo 2

Definimos a relação R_1\subset S\times S por “dois estudantes são equivalentes se nasceram no mesmo mês”.
  • Reflexiva: todo estudante nasceu em algum mês, logo (x,x)\in R_1.
  • Simétrica: se (x,y)\in R_1, então nasceram no mesmo mês, daí (y,x)\in R_1.
  • Transitiva: se (x,y)\in R_1 e (y,z)\in R_1, todos três nasceram no mesmo mês, logo (x,z)\in R_1.
    As classes de equivalência são, para cada mês m\in\{\text{Jan},\dots,\text{Dez}\},
[m] \;=\;\{\,x\in S\mid x\text{ nasceu em }m\}.

Passo 3

Definimos a relação R_2\subset S\times S por “dois estudantes são equivalentes se obtiveram a mesma nota final em letra A,B,C,D ou F”.
  • Reflexiva: cada estudante tem exatamente uma nota, então (x,x)\in R_2.
  • Simétrica: se (x,y)\in R_2, ambas notas coincidem, logo (y,x)\in R_2.
  • Transitiva: se (x,y)\in R_2 e (y,z)\in R_2, todos três têm a mesma nota, logo (x,z)\in R_2.
    As classes de equivalência são, para cada letra L\in\{A,B,C,D,F\},
[L] \;=\;\{\,x\in S\mid \text{nota de }x\text{ é }L\}.é

Passo 4

Definimos a relação R_3\subset S\times S por “dois estudantes são equivalentes se o comprimento (número de letras) do primeiro nome de cada um tem a mesma paridade”.
  • Reflexiva: o comprimento do nome de x tem a mesma paridade que ele próprio, logo (x,x)\in R_3.
  • Simétrica: se (x,y)\in R_3, comprimentos de x e y têm mesma paridade, logo (y,x)\in R_3.
  • Transitiva: se (x,y)\in R_3 e (y,z)\in R_3, então x e z têm mesma paridade de comprimento, logo (x,z)\in R_3.
    As classes de equivalência são as duas partições por paridade:
[0] = \{\,x\in S\mid \text{o primeiro nome de }x\text{ tem número de letras par}\},ú
[1] = \{\,x\in S\mid \text{o primeiro nome de }x\text{ tem número de letras ímpar}\}.úí

Resposta

As três relações de equivalência e suas classes de equivalência são:
  1. R_1: mesma origem de mês de nascimento; classes [m]=\{x\mid x nasceu em m\} para m\in\{\text{Jan},\dots,\text{Dez}\}.
  2. R_2: mesma letra de nota final; classes [L]=\{x\mid nota de x é L\} para L\in\{A,B,C,D,F\}.
  3. R_3: mesma paridade do comprimento do primeiro nome; classes [0] (nomes de comprimento par) e [1] (nomes de comprimento ímpar).

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