Quais destas relações no conjunto de todas as pessoas são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
e
falam uma mesma língua
Passo 1
O enunciado define a relação
no conjunto de todas as pessoas. Para ser relação de equivalência,
precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos testar cada uma.
Passo 2
Reflexividade: uma relação
é reflexiva se todo elemento se relaciona consigo mesmo, ou seja,
para toda pessoa
. Aqui, toda pessoa fala ao menos uma língua que ela mesma fala, logo
portanto
é reflexiva.
Passo 3
Simetria:
é simétrica se sempre que
então
. Se
e
falam juntas alguma língua
, então também
e
falam
. Logo
portanto
é simétrica.
Passo 4
Transitividade:
é transitiva se
e
implicam
. Mas suponha que
– e
falem inglês,
– e
falem espanhol,
– e
não tenham língua em comum.
Então e
, mas
. Logo falta transitividade.
–
–
–
Então
Resposta
A relação “falam uma mesma língua” é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. Portanto, não é uma relação de equivalência (falta a propriedade de transitividade).