Quais destas relações no conjunto de todas as pessoas são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
\{(a, b) \mid a e b falam uma mesma língua \}\

Passo 1

O enunciado define a relação
R = \{(a,b)\mid a\text{ e }b\text{ falam uma mesma língua}\}í
no conjunto de todas as pessoas. Para ser relação de equivalência, R precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos testar cada uma.

Passo 2

Reflexividade: uma relação R é reflexiva se todo elemento se relaciona consigo mesmo, ou seja, (a,a)\in R para toda pessoa a. Aqui, toda pessoa fala ao menos uma língua que ela mesma fala, logo
(a,a)\in R\quad\forall\,a,
portanto R é reflexiva.

Passo 3

Simetria: R é simétrica se sempre que (a,b)\in R então (b,a)\in R. Se a e b falam juntas alguma língua L, então também b e a falam L. Logo
(a,b)\in R\implies(b,a)\in R,
portanto R é simétrica.

Passo 4

Transitividade: R é transitiva se (a,b)\in R e (b,c)\in R implicam (a,c)\in R. Mas suponha que
a e b falem inglês,
b e c falem espanhol,
a e c não tenham língua em comum.
Então (a,b)\in R e (b,c)\in R, mas (a,c)\notin R. Logo falta transitividade.

Resposta

A relação “falam uma mesma língua” é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. Portanto, não é uma relação de equivalência (falta a propriedade de transitividade).

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