DEMOGRAFIA A população mundial aumenta à taxa de aproximadamente
ao ano. Supondo que o aumento da população seja exponencial, a população daqui a
anos será dada por uma função da forma
, em que
é a população atual. (Essa expressão será demonstrada no Capítulo 6.) Supondo que esse modelo do aumento da população esteja correto, quanto tempo a população mundial levará para dobrar de valor?

Passo 1

O enunciado diz que a população cresce de modo exponencial à taxa de k ao ano (valor numérico não fornecido) e que, após t anos, a população é
P(t)=P_{0}e^{k\,t},
em que P_{0} é a população atual. Pergunta-se em que tempo t teremos P(t)=2P_{0}.

Passo 2

Para achar o tempo de duplicação, impomos
2P_{0}=P_{0}e^{k\,t}
e dividimos ambos os lados por P_{0}, obtendo
2=e^{k\,t}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(2)=k\,t.
Isolando t:
t=\frac{\ln(2)}{k}.

Resposta

t=\frac{\ln(2)}{k}\quad\text{anos.}
(Se, por exemplo, k=0,02 ao ano, então t\approx\ln(2)/0{,}02\approx34{,}7 anos.)

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