Dê uma demonstração direta:
Sejam a, b e c números inteiros. Se a mid b e a mid c, então a mid(b cdot c).
Lembre que você deve usar a definição de | na sua demonstração.

Passo 1

O enunciado pede uma demonstração direta de que, dados inteiros a,b,c, se amid b e amid c então amid(bcdot c). O conteúdo é teoria de números, mais precisamente a definição de divisibilidade:
amid xLong<=ftrightarrowexists kinZ:;x=a,k

Passo 2

Da hipótese amid b segue que existe k1inZ tal que
b = a,k1
Da hipótese amid c segue que existe k2inZ tal que
c = a,k2

Passo 3

Multiplicando b por c obtemos
bcdot c = (a,k1),(a,k2) = a,(a,k1,k2)
Como a,k1,k2inZ, podemos definir
k3 = a,k1,k2inZ,
e então
bcdot c = a,k3

Passo 4

Pela definição de divisibilidade, como existe k3inZ com bcdot c = a,k3, concluímos que
a mid (bcdot c)

Resposta

a mid (bcdot c).

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