Demonstrar que para qualquer que seja x, o acréscimo da função y=2^{x}, correspondente ao acréscimo de x, em uma grandeza \Delta x, é equivalente à expressão 2^{x} \Delta x \ln 2, quando \Delta x \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função y=2^{x}, o acréscimo \Delta y = y(x+\Delta x) - y(x)
é equivalente a
2^{x}\,\Delta x\,\ln 2
quando \Delta x \to 0.
O conteúdo envolve propriedades de exponenciais e expansão em séries (ou diferencial).

Passo 2

Escrevemos o incremento de y como
\Delta y = 2^{\,x+\Delta x} - 2^{\,x}.
Ao fatorar 2^{x}, temos
\Delta y = 2^{x}\bigl(2^{\Delta x}-1\bigr).

Passo 3

Usamos a identidade exponencial
2^{\Delta x} = e^{\Delta x \,\ln 2},
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\Delta y = 2^{x}\bigl(e^{\Delta x \,\ln 2}-1\bigr).

Passo 4

Fazemos a expansão de Taylor de e^{u} em torno de u=0:
e^{u} = 1 + u + o(u)\quad(u\to0).
Aqui u=\Delta x\,\ln 2, então
e^{\Delta x\,\ln 2}-1 = \Delta x\,\ln 2 + o(\Delta x).

Passo 5

Substituindo na expressão de \Delta y:
\Delta y = 2^{x}\bigl(\Delta x\,\ln 2 + o(\Delta x)\bigr) = 2^{x}\,\Delta x\,\ln 2 + o(\Delta x).
Isso mostra que, quando \Delta x\to0, \Delta y é equivalente a 2^{x}\,\Delta x\,\ln 2.

Resposta

\Delta y \sim 2^{x}\,\Delta x\,\ln 2 \quad(\Delta x\to0).

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