Demonstre que 1492^n-1770^n-1863^n+2141^n é divisível por 1946.

Passo 1

O problema pede para mostrarmos que a quantidade
1492^n ;-;1770^n;-;1863^n;+;2141^n
é sempre divisível por 1946. Como 1946=2cdot7cdot139 e estes fatores são primos entre si, vamos verificar separadamente que a expressão é zero módulo 2, módulo 7 e módulo 139.

Passo 2

Verificação módulo 2. Note que
1492equiv0pmod2,1770equiv0pmod2,1863equiv1pmod2,2141equiv1pmod2
Logo,
1492^n-1770^n-1863^n+2141^n equiv0-0-1+1equiv0pmod2
Portanto a expressão é divisível por 2.

Passo 3

Verificação módulo 7. Calculamos os resíduos:
1492div7to1492=7cdot213+1implies1492equiv1pmod7,
1770div7to1770=7cdot252+6implies1770equiv6equiv-1pmod7,
1863div7to1863=7cdot266+1implies1863equiv1pmod7,
2141div7to2141=7cdot305+6implies2141equiv6equiv-1pmod7
Substituindo,
1492^n-1770^n-1863^n+2141^n equiv1^n-(-1)^n-1^n+(-1)^n equiv1-(-1)^n-1+(-1)^nequiv0pmod7
em qualquer caso de n. Logo é divisível por 7.

Passo 4

Verificação módulo 139. Calculamos:
1492div139to1492=139cdot10+102implies1492equiv102pmod139,
1770div139to1770=139cdot12+102implies1770equiv102pmod139,
1863div139to1863=139cdot13+56implies1863equiv56pmod139,
2141div139to2141=139cdot15+56implies2141equiv56pmod139
Então
1492^n-1770^n-1863^n+2141^n equiv102^n-102^n-56^n+56^nequiv0pmod139
Portanto é divisível por 139.

Passo 5

Como mostramos que a expressão é 0 módulo 2, módulo 7 e módulo 139, e estes fatores são coprimos entre si, pelo Teorema Chinês dos Resto concluímos que a expressão é 0 módulo 2cdot7cdot139=1946.

Resposta

A expressão 1492^n-1770^n-1863^n+2141^n é divisível por 1946 para todo n.

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